Đặt \(SA=x;SB=y\)

\(S_{\Delta SAB}=\dfrac{1}{2}SA.SB=\dfrac{xy}{2}\)

\(V=\dfrac{SA.SB.SC}{6}.\sqrt{1+2.cos90^0.cos60^0.cos120^0-cos^290^0-cos^260^0-cos^2120^0}=\dfrac{axy}{6}\)

\(\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{axy}{2.\dfrac{xy}{2}}=a\)

Chọn C

\(V=\dfrac{a.a\sqrt{3}.a\sqrt{2}}{6}.\sqrt{1+2cos90^0.cos60^0.cos120^0-cos^290-cos^260-cos^2120}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)

\(\widehat{D}=\dfrac{3}{2}\widehat{B}=\dfrac{3}{2}.60^0=90^0\)

\(\widehat{D}=\dfrac{4}{3}\widehat{C}\Rightarrow\widehat{C}=\dfrac{3}{4}\widehat{D}=\dfrac{3}{4}.90^0=67,5^0\)

\(\widehat{A}=360^0-\widehat{B}-\widehat{C}-\widehat{D}=360^0-60^0-90^0-67,5^0=142,5^0\)

A.\(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(S_{\Delta ACD}=\dfrac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(V=\dfrac{AB.AC.AD}{6}.\sqrt{1+2cos90^0.cos60^0.cos120^0-cos^290^0-cos^260^0-cos^2120^0}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(ACD\right)\right)=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

a) AH ⊥ BD (vì AH là đường cao Δ ABC )

HD=HB

⇒ AD = AB ( Quan hệ đương xiên- hình chiếu)

⇒ Δ ABD cân tại A

mà ∠ABD = 60\(^o\)

⇒ Δ ABD đều

b) Ta có : ∠ BAD +∠DAC =∠BAC

mà ∠ BAD =60\(^o\) ( Δ BAD đều ), ∠ BAC = 90\(^0\)

⇒60\(^0\) +∠ DAC = 90\(^0\)

⇒∠DAC = 90\(^0\) - 60\(^0\) =30\(^0\) (1)

Vì ED ⊥ BC ⇒ ∠EDB =90\(^0\)

Tương tự trên ∠BDA +∠ADE =∠EDB ⇒∠ADE =30\(^0\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠DAC =∠ ADE =30\(^0\)

⇒ Δ AED cân tại E

c)Ta có:∠BDA+ ∠ADC= 180\(^0\) ,mà ∠BDA=60\(^0\)

⇒∠ADC=180\(^0\)- 60\(^0\)= 120\(^o\)

ΔADC có: ∠ADC+ ∠DAC +∠ DBA =180\(^o\)

⇒120\(^o\) +30\(^o\) + ∠ DBA= 180\(^o\)

⇒∠DBA=30\(^o\)

⇒∠DBA =∠ DAC =30\(^o\) ⇒ ΔADC cân tại D

Xét Δ AHD , Δ CFD có:

AH⊥BC, CF⊥AD

AD=DC ( Δ ACD cân tại D)

∠HDA =∠ FDC ( vì đối đỉnh )

⇒ Δ vuông AHD = Δ vuông CFD ( cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ HA= FC( 2 cạnh tương ứng ) (3)

và HD=DF ( 2 cạnh tương ứng)⇒ ∠DHF =∠DFH =\(\dfrac{180^0-g\text{óc}HDF}{2}\) (theo tính chất Δ cân)(4)

Ta có: ΔDAC cân tại D (cmt)⇒∠ADC = 180\(^o\) - (∠DAC+ ∠ DCA)

=180\(^o\) -( 30\(^o\) +30\(^o\) )

= 120\(^o\)

Ta có ∠ADC = ∠ HDF= 120\(^o\) ( vì đối đỉnh )

Thay ∠HDF = 120\(^o\) vào ( 4 ) ta có:∠ HFD =(180\(^o\)- 120\(^o\)) : 2 =30\(^o\)(5)

ΔABD đều⇒ đường cao AH đồng thời là phân giác∠ BAD

⇒ ∠HAD= ∠BAD :2= 60\(^o\) :2 =30\(^o\)(6)

Từ (5),(6) ⇒ ∠HAD =∠HFD ⇒HA =HF (tính chất Δ cân) (7)

Từ (3), (7) ⇒HA =HF=FC

@Lê Thị Diệu Đan xem qua

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{2a+b+c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{3}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=3\left(a^2+ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+2bc=3a^2+3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc\).

Đây chính là định lý hàm cos cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o\).

(Phần chứng minh bạn có thể xem ở Cho tam giác ABC có Â=60 độ. Chứng minh rằng BC^2=AB^2 AC^2-AB.BC - Hoc24)