Tìm số tự nhiên \(n\left(50000\le n\le100000\right)\) để 2290 + 7n là lập phương của một số tự nhiên
@Nguyễn Huy Tú, @Ace Legona, @Toshiro Kiyoshi, Akai Haruma, Hung nguyen,... Help me....
Tìm số tự nhiên n (50000 \(\le n\le100000\)) Thỏa mãn \(2209+7n\) là lập phương của 1 số tự nhiên
Tìm số tự nhiên \(n\) \(\left(20349< n< 47238\right)\) và \(A\) để \(A=4789655-27n\) là lập phương của một số tự nhiên.
Cho dãy số: \(U_n=\dfrac{\left(5+\sqrt{7}\right)^n-\left(5-\sqrt{7}\right)^n}{2\sqrt{7}}\) Với \(n=1;2;3;....\)
CM công thức: \(U_{n+2}=10U_n-18U_{n+1}\)
HELP !#!!!! @Ace Legona, @Ái Hân Ngô, @Akai Haruma, @Trần Thiên Kim, @Nguyễn Huy Tú, ngonhuminh, Hung nguyen Hoang Hung Quan
Nguyễn Huy Tú Akai Haruma Toshiro Kiyoshi Mới vô T.Thùy Ninh Trần Thiên Kim Ace LegonaHung nguyen Hoang Hung Quan Ái Hân Ngô Hoàng Ngọc AnhPhương An
Phân tích đa thức thành nhân tử
a,\(x^3+2x^2y+xy^2\)
hepl me Toshiro KiyoshiNguyễn Huy TúAce Legona
\(x^3+2x^2y+xy^2\)
\(=x\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(=x\left(x+y\right)^2\)
\(x^3+2x^2y+xy^2\\ =\left(x^3+x^2y\right)+\left(x^2y+xy^2\right)\\ =x^2\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)\\ =\left(x^2+xy\right)\left(x+y\right)\)
\(x^3+2x^2y+xy^2=x\left(x^2+2xy+y^2\right)=x\left(x+y\right)^2\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4.\)
CmR: \(\dfrac{a}{\sqrt{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\ge1\)
Hung nguyen Ace Legona Akai Haruma các thánh giúp em với!!!
Từng sau nếu tag bạn tag tên dưới câu trả lời nhé, tag thế này không nhận được thông báo đâu .
Bài này tốn sức quá, đau đầu
Lời giải:
Sử dụng \(\sum\) biểu hiện tổng các hoán vị nhé.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{a\sqrt{(b+2)(c+2)}}+\frac{b^2}{b\sqrt{(c+2)(a+2)}}+\frac{c^2}{c\sqrt{(a+2)(b+2)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}}\)
Tiếp tục Cauchy-Schwarz:
\((\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)})^2\leq (ab+2a+bc+2b+ac+2c)(ac+2a+ba+2b+bc+2c)\)
\(\Leftrightarrow \sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}\leq (ab+bc+ac+2a+2b+2c)\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2(a+b+c)}\)
Ta sẽ đi chứng minh \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+2(a+b+c)}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq ab+bc+ac+2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\geq 2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2\geq 4(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow 4-abc+(a+b+c)^2\geq 4(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c-2)^2\geq abc\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{abc}+2\)
Do \(a^2+b^2+c^2+abc=4\Rightarrow \)
tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:\((a,b,c)=\left ( 2\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}};2\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}};2\sqrt{\frac{xz}{(y+x)(y+z)}} \right )\)
Khi đó , thực hiện vài bước rút gọn, BĐT cần chứng minh chuyển về:
\(\sum \sqrt{xy(x+y)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
Bình phương hai vế:
\(\Leftrightarrow \sum xy(x+y)+2\sqrt{xy^2z(x+y)(y+z)}\geq 2xyz+\prod (x+y)+2\sqrt{2xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\)
\(\Leftrightarrow \sum\sqrt{xy^2z(x+y)(y+z)}\geq 2xyz+\sqrt{2xyz(x+y)(y+z)(x+z)}\)
\(\Leftrightarrow \sum \sqrt{y(y+x)(y+z)}\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(x+y)(y+z)(x+z)}\) \((\star)\)
Đặt biểu thức vế trái là $A$
\(A^2=\sum y(y+x)(y+z)+2\sum\sqrt{[y(y+x)(y+z)][x(x+y)(x+z)]}\)
\(A^2=\sum x^3+\sum xy(x+y)+3xyz+2\sum \sqrt{[(x^2(x+y+z)+xyz][y^2(x+y+z)+xyz]}\)
Áp dụng BĐT C-S : \([x^2(x+y+z)+xyz][y^2(x+y+z)+xyz]\geq [xy(x+y+z)+xyz]^2\)
\(\Rightarrow A^2\geq \sum x^3+\sum xy(x+y)+3xyz+2\sum [xy(x+y+z)+xyz]\)
\(\Leftrightarrow A^2\geq \sum x^3+3\sum xy(x+y)+15xyz\)
Theo BĐT Schur: \(\sum x^3+3xyz\geq \sum xy(x+y)\)
\(\Rightarrow A^2\geq 4\sum xy(x+y)+12xyz=4[\sum xy(x+y)+3xyz]=4(x+y+z)(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow A\geq 2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}\)
Ta cần chứng minh \(2\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(x+y)(y+z)(x+z)}\) (1)
Đặt \(\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+xz)}=t\), bằng AM-GM dễ thấy \(t^2\geq 9xyz\)
\((1)\Leftrightarrow 2t\geq 2\sqrt{xyz}+\sqrt{2(t^2-xyz)}\)
\(\Leftrightarrow 4t^2\geq 4xyz+2(t^2-xyz)+4\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\)
\(\Leftrightarrow t^2\geq xyz+2\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\) (2)
Áp dụng AM-GM: \(2\sqrt{xyz(t^2-xyz)}=\sqrt{8xyz(t^2-xyz)}\leq \frac{8xyz+t^2-xyz}{2}=\frac{7}{2}xyz+\frac{t^2}{2}\)
Và \(xyz\leq \frac{t^2}{9}\)
\(\Rightarrow xyz+2\sqrt{2xyz(t^2-xyz)}\leq t^2\)
Do đó (2) đúng kéo theo (1) đúng kéo theo (*) đúng nên ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Tìm số tự nhiên n sao cho:
\(n+\left[\sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}+\frac{1}{3}\right]^2\) là lập phương 1 số tự nhiên
(phan nguyen)
Mik xin lỗi nhưng cái này quá khả năng của mình rồi !
P/s : bạn có thể lên mạng tra xem nhé !
~ Thông cảm cho Mon ~
Phân tích đa thức thành nhân tử
a,\(4x^3y^2-8x^2y^3+12x^3y^4\)
b,\(x\left(y-z\right)+2\left(z-y\right)\)
c,\(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)\)
d,\(x\left(2-x\right)^2-\left(2-x\right)^3\)
hepl me Nguyễn Huy TúAkai HarumaT.Thùy NinhToshiro Kiyoshi
a, \(4x^3y^2-8x^2y^3+12x^3y^4\)
\(=4x^2y^2\left(x-2y+3xy^2\right)\)
b, \(x\left(y-z\right)+2\left(z-y\right)\)
\(=x\left(y-z\right)-2\left(y-z\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-2\right)\)
c, \(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)\)
d, \(x\left(2-x\right)^2-\left(2-x\right)^3\)
\(=\left(2-x\right)^2\left(x-2-x\right)=-2\left(x-2\right)^2\)
a, \(4x^3y^2-8x^2y^3+12x^3y^4\)
\(=4x^2y^2\left(x-2y+3xy^2\right)\)
b, \(x\left(y-z\right)+2\left(z-y\right)\)
\(=\left(x-2\right)\left(y-z\right)\)
c, \(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)\)
d, \(x\left(2-x\right)^2-\left(2-x\right)^3\)
\(=\left(2-x\right)^2\left(x-2+x\right)\)
\(=2\left(x-2\right)^2\left(x-1\right)\)
a, \(4x^3y^2-8x^2y^3+12x^3y^4=4x^2y^2\left(x-2y+3xy^2\right)\)
b, \(x\left(y-z\right)+2\left(z-y\right)=x\left(y-z\right)-2\left(y-z\right)=\left(x-2\right)\left(y-z\right)\)
c, \(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+y-2\right)\)
d, \(x\left(2-x\right)^2-\left(2-x\right)^3=\left(2-x\right)^2\left[x-\left(2-x\right)\right]=\left(2x-2\right)\left(2-x\right)^2\)
cho \(S_n=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\)là một số tự nhiên
Tìm số tự nhiên n để Sn là số chính phương
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), phân giác B cắt AC ở D, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở E.CM
a) BD. BE = AD. AC
b) BD\(^2\)= AB. AC - AD. AC
Phương An,Ace Legona,Toshiro Kiyoshi,Ribi Nkok Ngok,Mysterious Person,Hung nguyen,Akai Haruma...v...v....
Akio Kioto Juka t lười giải hình lắm. Đừng tag t vô hình làm gì.