Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2

⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)

Dấu « = » xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.

Ta có:

\(x^3+x^2z-xyz+y^2z+y^3\)

\(=\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2z-xyz+y^2z\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=0\cdot\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=0\left(dpcm\right)\)

CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le2\)  biết \(^{x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0}\) và xy>0

tôi quên mât CMR: 1/x+1/y<=-2

a) \(B=x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)\)

b) \(B=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+z\right)=x^2-xy+y^2\)

\(=x^2-2.x.\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=0\)

Bài 1: Ta có 2009²⁰ = (2009²)¹⁰ = (2009.2009)¹⁰

                    20092009¹⁰ = (10001.2009)¹⁰

Mà 2009 < 10001 ➩ (2009.2009)¹⁰ < (10001.2009)¹⁰

Vậy 2009²⁰ < 20092009¹⁰

Bai 3:

Theo giả thiết suy ra các tích x1x2 , x2x3 , ...., xnx1 chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 và -1

Do đó x1x2 + x2x3 +...+ xnx1 = 0 <=> n = 2m

=> Đồng thời có m số hạng bằng 1 và m số hạng bằng -1

Nhận thấy : (x1x2)(x2x3)...(xnx1) = x12x22...xn2 = 1

=> Số các số hạng bằng -1 phải là số chẵn

=> m = 2k

Suy ra n = 2m = 2.2k = 4k

=> n chia hết cho 4

bai 2:

25−y²=8(x−2009)

⇒25−y²=8x−16072

⇒8x=25−y²−16072

⇒8x=25−16072−y²

⇒8x=−16047−y²

8×−16047−y²8=−16047−y²

⇒−16047−y²=−16047−y²

 có vô giá trị nhé 

Vậy 

10:

Vì n là số lẻ nên n=2k-1

Số số hạng là (2k-1-1):2+1=k(số)

Tổng là (2k-1+1)*k/2=2k*k/2=k^2 là số chính phương

11: 

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>\(n\in\left\{0;2;-2;2\sqrt{3};-2\sqrt{3};8;-8\right\}\)