Đáp án A

 Với x 1 ≠ x 2  ta có:

f x 2 - f x 1 x 2 - x 1 = - x 2 2 + 4 x 2 - 2 - - x 1 2 + 4 x 1 - 2 x 2 - x 1 = - x 2 2 - x 1 2 + 4 ( x 2 - x 1 ) x 2 - x 1 = - x 2 + x 1 + 4 .

·     Với  x 1 , x 2 ∈ - ∞ ; 2  thì x₁ < 2; x₂ <2 nên  x 1 + x 2 < 4 ⇒ - x 1 + x 2 + 4 > 0 nên f(x) đồng biến trên khoảng  - ∞ ; 2 .

·         ·     Với  x 1 , x 2 ∈ 2 ; + ∞  thì x₁>2; x₂ >2 nên  x 1 + x 2 > 4 ⇒ - x 1 + x 2 + 4 < 0 nên f(x) nghịch biến trên khoảng   2 ; + ∞ .

Vậy đáp án là A.

Nhận xét: Với 4 phương án trả lời cho ta biết f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng  - ∞ ; 2  và  2 ; + ∞ .

 Vì vậy, ta lấy hai giá trị bất kì x 1 < x 2  thuộc mỗi khoảng rồi so sánh  f x 1  và  f x 2 . Chẳng hạn x 1 = 0 ; x 2 = 1 có f 0 = - 2 ; f 1 = 1 nên f 0 < f 1 , suy ra f(x) đồng biến trên khoảng  - ∞ ; 2 .

a) Từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [-3;7]

+) Trên khoảng (-3; 1): đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (-3; 1).

+) Trên khoảng (1; 3): đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (1; 3).

+) Trên khoảng (3; 7): đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (3; 7).

b) Xét hàm số \(y = 5{x^2}\) trên khoảng (2; 5).

Lấy \({x_1},{x_2} \in (2;5)\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Do \({x_1},{x_2} \in (2;5)\) và \({x_1} < {x_2}\) nên \(0 < {x_1} < {x_2}\), suy ra \({x_1}^2 < {x_2}^2\) hay \(5{x_1}^2 < 5{x_2}^2\)

Từ đây suy ra \(f({x_1}) < f({x_2})\)

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (2; 5).

Đáp án D

a) Đk:\(x\in R\)

TH1:Xét \(x\in\left(3;+\infty\right)\)

Lấy \(x_1;x_2\in\left(3;+\infty\right)\) thỏa mãn \(x_1\ne x_2\)

Xét \(I=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{2x_1^2-4x_1+3-\left(2x_2^2-4x_2+3\right)}{x_1-x_2}\)\(=2\left(x_1+x_2\right)-4\)

Do \(x_1;x_2\in\left(3;+\infty\right)\)\(\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)>12\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-4>8>0\)

\(\Rightarrow I>0\)

Hàm đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\)

TH2:Xét \(x\in\left(-10;1\right)\)

Lấy \(x_1;x_2\in\left(-10;1\right):x_1\ne x_2\)

Xét \(I=2\left(x_1+x_2\right)-4\)

Do \(x_1< 1;x_2< 1\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)< 4\Rightarrow I=2\left(x_1+x_2\right)-4< 0\)

Hàm nb trên khoảng \(\left(-10;1\right)\)

b)Làm tương tự,hàm nb trên \(\left(1;+\infty\right)\) và đb trên \(\left(-10;-2\right)\)

c)Đk: \(x\in R\backslash\left\{2\right\}\)

=>Hàm số xác định trên \(\left(-\infty;2\right)\)

Lấy \(x_1;x_2\in\left(-\infty;2\right):x_1\ne x_2\)

Xét \(I=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac{x_1}{x_1-2}-\dfrac{x_2}{x_2-2}}{x_1-x_2}=\dfrac{-2}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\)

Do \(x_1;x_2< 2\Rightarrow\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\)

\(\Rightarrow I=-\dfrac{2}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}< 0\)

Hàm nb trên ​\(\left(-\infty;2\right)\)​

d)\(I=\dfrac{1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)

Hàm đb trên \(\left(-1;+\infty\right)\) ; \(\left(-3;-2\right)\)

e)TXĐ:D=R

Lấy \(x_1;x_2\in\left(0;+\infty\right):x_1< x_2\)

​​\(T=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^{2020}+x_1^2-3-x_2^{2020}-x_2^2+3=x_1^{2020}-x_2^{2020}+x_1^2-x_2^2\)

Do \(x_1< x_2\Rightarrow x_1^{2020}< x_2^{2020};x_1^2< x_2^2\)

​\(\Rightarrow T=x_1^{2020}-x_2^{2020}+x_1^2-x_2^2< 0\)​

Hàm đb trên \(\left(0;+\infty\right)\)