a: Gọi K là trung điểm của DC

Suy ra: AD=DK=KC

Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình của ΔBDC

Suy ra: MK//ID

Xét ΔAMK có 

D là trung điểm của AK

DI//MK

Do đó: I là trung điểm của AM

a)Ta có: BM=MC; AN=NC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//AB

Mà ∠BAC đồng vị với ∠MNC nên ∠BAC=∠MNC=90*

Hay MN ⊥AC

b) Ta có : MN⊥AC(câu a)

=> Mn là đường cao của ΔAMC

Mà AN=MC=> đường cao cũng là đường trung tuyến

Hay ΔAMC cân tại M

c) Ta có: AM là đường trung tuyến của ΔABC

=>BM=MC.

Ta lại có MC=BM=1/2BC=>BC=2MC

Mà MC=AM(do ΔAMC cân tại A)=>BC=2AM

â)Gọi H là trung điểm CD

=> CH=HD=AD (gt)

Xét tam giác BDC , co :

CH =HD (cmt)

BM=MC (gt)

=> MH là đường trung bình

=> MH //BD

Xét tam giácAMH , co :

MH // BD (cmt)

AD = DH (cmt)

=> AI = IM

=> I la trung diem AM

b) Gọi H là trung điểm CD

=>CH=HD

Xet tam giac BCD , co :

CH =HD (cmt)

BM=MC (gt)

=> MH la duong trung binh

=> MH //BD va MH=\(\dfrac{BD}{2}\)

Xét tam giác AMH , cờ :MH // BD (cmt )

AI =IM (gt) (1)

=> AD =HD ( => AD=\(\dfrac{1}{2}\)DC ) (2)

Tu (1) va (2) => ID la duong trung binh

=> ID =\(\dfrac{MH}{2}\) =\(\dfrac{BD}{2}\) : 2=\(\dfrac{BD}{4}\)

BI cắt AC ở D nha

a) Theo giả thiết ta có : \(AD=2AM\)

=> AM = DM

Xét \(\Delta ABM;\Delta DCM\) có :

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

=> \(\Delta ABM=\Delta DCM\left(c.g.c\right)\)

=> \(AB=CD\) ( 2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta BMD;\Delta AMC\) có :

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\) (đối đỉnh)

\(AM=MD\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BMD=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BDM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(\text{BD // AC (đpcm)}\)

c) Xét \(\Delta ABC;\Delta ACD\) có :

\(AB=CD\) (cmt - câu a)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (do \(\Delta ABM;\Delta DCM\) )

\(BD=AC\) (do \(\Delta BMD=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\Delta ABC=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

=> \(AD=BC\) (2 cạnh tương ứng)

Mà có : \(AM=\dfrac{1}{2}AD\) (gt)

Cho nên : \(AM=\dfrac{1}{2}BC\left(đpcm\right)\)

a) Xét \(\Delta ABM;\Delta DCM\) có :

\(BM=MC\left(gt\right)\)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\left(đ^2\right)\)

\(AM=MC\left(AD=2AM-gt\right)\)

=> \(\Delta ABM;\Delta DCM\)(c.g.c)

=> \(AB=CD\) ( 2 cạnh tương ứng)

b) Ta dễ dàng chứng minh được : \(\Delta BMD=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BDM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> BD // AC (đpcm)

c) Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta ABC=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\)

Từ đó có : \(AD=BC\) ( 2 cạnh tương ứng)

Mà có : \(AD=2AM\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AD\)

Hay : \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) (đpcm)

d) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow AM=MD\\AM=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow AM=MC\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(MC=MD\left(=AM\right)\)

Xét \(\Delta MCD\) có :

MC = MD (cmt)

=> \(\Delta MCD\) cân tại M

a/ Vì \(AD=2AM\Rightarrow AM=DM=\dfrac{AD}{2}\)

Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta CDM\) có:

\(AM=DM\left(cmt\right)\)

\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) ( đối đỉnh )

\(BM=CM\) ( M là trung điểm của BC )

Do đó \(\Delta BAM=\Delta CDM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\) ( cạnh tương ứng )

b/ Xét \(\Delta BMD\) và \(\Delta CMA\) có:

\(BM=CM\) ( M là trung điểm BC )

\(\widehat{M_3}=\widehat{M_4}\) ( đối đỉnh )

\(AM=DM\left(cmt\right)\)

Do đó \(\Delta BMD=\Delta CMA\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( góc tương ứng )

Xét hai vị trí này thuộc 2 vị trí so le trong, suy ra \(BD\text{//}AC\)

AD=2.AM nên AM+MD=AD nên AM=MD

a) Xét \(\Delta\)AMB và MDC có

MB=MC(M là trung điểm BC)

\(\widehat{M}1=\widehat{M}2\)(đối đỉnh)

MA=MD

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)AMB=\(\Delta\)MDC(c.g.c)

nên AB=CD và \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\Rightarrow AB//CD\)

b) Xét \(\Delta\)BMD và \(\Delta\)CMA có

MA=MD

\(\widehat{M}3=\widehat{M}4\)(đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm BC)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BMD=\(\Delta\)CMA(c.g.c)

nên \(\widehat{B}1=\widehat{C1}\)

MÀ 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow BD//AC\)

c) \(\Delta\)ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^0\)

MÀ \(\widehat{B}1=\widehat{C1}\)và \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)nên

\(\widehat{C1}+\widehat{C2}=\widehat{ACD}=\widehat{BAC}=90^0\)

Xét \(\Delta\)ACB và \(\Delta\)ACD có

Ac chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{BAC}\)(cmt)

AB=CD

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ACB=\(\Delta\)ACD(c.g.c)

nên BC=AD

Mà AM=\(\dfrac{1}{2}\)AD

nên AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC

d) MB=MC=AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC

mà AM=MD

nên MD=MC

\(\Rightarrow\Delta MCD\) cân tại M (1)

TRong \(\Delta\)ABC có AM là đường trung tuyến nên Am là phân giác \(\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{A2}=45^0\);\(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)

nên \(\widehat{D1}+\widehat{C2}=90^0\Rightarrow\widehat{M2}=90^0\)(2)

(1)(2) \(\Rightarrow\Delta MCD\)vuông cân tại M

Mà \(\widehat{A}1\)=\(\widehat{D1}\);

a) Ta có: \(AD=\dfrac{1}{2}DC\)(gt)

mà \(EC=ED=\dfrac{DC}{2}\)(E là trung điểm của DC)

nên AD=EC=ED

b) Xét ΔCDB có 

M là trung điểm của BC(gt)

E là trung điểm của CD(gt)

Do đó: ME là đường trung bình của ΔCDB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ME//BD và \(ME=\dfrac{1}{2}BD\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay ME//ID

Xét tứ giác MEDB có ME//BD(cmt)

nên MEDB là hình thang có hai đáy là ME và BD(Định nghĩa hình thang)

c) Xét ΔAME có 

D là trung điểm của AE(AD=DE, D nằm giữa A và E)

DI//ME(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AM(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

hay IA=IM(Đpcm)

\(a.\) Ta có: DA=\(^{\dfrac{1}{2}DC=DE=EC}\) (đpcm)

\(b.\) Xét tam giác DBC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}DE=CE\\BM=CM\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ME là đường trung bình tam giacs DBC

\(\Rightarrow ME\)//\(BD\) \(\Rightarrow\) DEMB là hình thang

\(c.\)Vì \(\Rightarrow ME\)//\(BD\) nên ME // ID

Xét tam giác AMD có: \(\left\{{}\begin{matrix}ME\backslash\backslash ID\\AD=DC\end{matrix}\right.\)

=> ME là đường trung bình tam giác AMD hay I là trung điểm MA

\(\Rightarrow IA=IM\) (đpcm)