a) Xét \(\Delta ABM;\Delta DCM\) có :
\(BM=MC\left(gt\right)\)
\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\left(đ^2\right)\)
\(AM=MC\left(AD=2AM-gt\right)\)
=> \(\Delta ABM;\Delta DCM\)(c.g.c)
=> \(AB=CD\) ( 2 cạnh tương ứng)
b) Ta dễ dàng chứng minh được : \(\Delta BMD=\Delta AMC\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{BDM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong
=> BD // AC (đpcm)
c) Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta ABC=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\)
Từ đó có : \(AD=BC\) ( 2 cạnh tương ứng)
Mà có : \(AD=2AM\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AD\)
Hay : \(AM=\dfrac{1}{2}BC\) (đpcm)
d) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{1}{2}AD\Rightarrow AM=MD\\AM=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow AM=MC\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(MC=MD\left(=AM\right)\)
Xét \(\Delta MCD\) có :
MC = MD (cmt)
=> \(\Delta MCD\) cân tại M
a/ Vì \(AD=2AM\Rightarrow AM=DM=\dfrac{AD}{2}\)
Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta CDM\) có:
\(AM=DM\left(cmt\right)\)
\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) ( đối đỉnh )
\(BM=CM\) ( M là trung điểm của BC )
Do đó \(\Delta BAM=\Delta CDM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AB=CD\) ( cạnh tương ứng )
b/ Xét \(\Delta BMD\) và \(\Delta CMA\) có:
\(BM=CM\) ( M là trung điểm BC )
\(\widehat{M_3}=\widehat{M_4}\) ( đối đỉnh )
\(AM=DM\left(cmt\right)\)
Do đó \(\Delta BMD=\Delta CMA\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( góc tương ứng )
Xét hai vị trí này thuộc 2 vị trí so le trong, suy ra \(BD\text{//}AC\)
AD=2.AM nên AM+MD=AD nên AM=MD
a) Xét \(\Delta\)AMB và MDC có
MB=MC(M là trung điểm BC)
\(\widehat{M}1=\widehat{M}2\)(đối đỉnh)
MA=MD
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)AMB=\(\Delta\)MDC(c.g.c)
nên AB=CD và \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\Rightarrow AB//CD\)
b) Xét \(\Delta\)BMD và \(\Delta\)CMA có
MA=MD
\(\widehat{M}3=\widehat{M}4\)(đối đỉnh)
MB=MC(M là trung điểm BC)
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BMD=\(\Delta\)CMA(c.g.c)
nên \(\widehat{B}1=\widehat{C1}\)
MÀ 2 góc này ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow BD//AC\)
c) \(\Delta\)ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^0\)
MÀ \(\widehat{B}1=\widehat{C1}\)và \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)nên
\(\widehat{C1}+\widehat{C2}=\widehat{ACD}=\widehat{BAC}=90^0\)
Xét \(\Delta\)ACB và \(\Delta\)ACD có
Ac chung
\(\widehat{ACD}=\widehat{BAC}\)(cmt)
AB=CD
\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ACB=\(\Delta\)ACD(c.g.c)
nên BC=AD
Mà AM=\(\dfrac{1}{2}\)AD
nên AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC
d) MB=MC=AM=\(\dfrac{1}{2}\)BC
mà AM=MD
nên MD=MC
\(\Rightarrow\Delta MCD\) cân tại M (1)
TRong \(\Delta\)ABC có AM là đường trung tuyến nên Am là phân giác \(\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{A1}=\widehat{A2}=45^0\);\(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)
nên \(\widehat{D1}+\widehat{C2}=90^0\Rightarrow\widehat{M2}=90^0\)(2)
(1)(2) \(\Rightarrow\Delta MCD\)vuông cân tại M
Mà \(\widehat{A}1\)=\(\widehat{D1}\);
