Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;
b) Xác định vị trí của D để MN có độ dài ngắn nhất.
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;b) Xác định vị trí của D để MN có độ dài ngắn nhất.
em rất cần luôn , vì trả bài cho cô
a) Ta có: D đối xứng với M qua AB
=> AB là đường trung trực của MD
Xét tam giác AMD có:
AB là đường trung trực của MD(cmt)
=> Tam giác AMD cân tại A
=> AB là tia phân giác \(\widehat{MAD}\Rightarrow\widehat{MAD}=2\widehat{BAD}\)
CMTT => AC là tia phân giác \(\widehat{DAN}\Rightarrow\widehat{DAN}=2\widehat{DAC}\)
Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{DAN}=2\left(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}\right)=2\widehat{BAC}\)
=> \(\widehat{MAN}\) có số đo không đổi
a: Ta có: D đối xứng với M qua AB
nên AB là đường trung trực của MD
Suy ra: AM=AD
Xét ΔAMD có AM=AD
nên ΔAMD cân tại A
mà AB là đường trung trực ứng với cạnh đáy MD
nên AB là tia phân giác của \(\widehat{MAD}\)
Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của ND
Suy ra: AN=AD
Xét ΔAND có AN=AD
nên ΔAND cân tại A
mà AC là đường trung trực ứng với cạnh đáy ND
nên AC là tia phân giác của \(\widehat{NAD}\)
Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}\)
\(=2\cdot\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}\right)\)
\(=2\cdot\widehat{BAC}\)
a) Xét tứ giác AEDF có DE//AF(DE//AB, F ∈ AB) DF//AE(DF//AC, E ∈ AC) Do đó: AEDF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành) Hình bình hành AEDF có ˆ E A F = 90 0 ( ˆ B A C = 90 0 , F ∈ AB, E ∈ AC) nên AEDF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) b) Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AD là tia phân giác của ˆ F A E hay AD là tia phân giác của ˆ B A C ) Vậy: Khi D là chân đường phân giác kẻ từ A xuống cạnh BC thì tứ giác AEDF trở thành hình vuông
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn , M là 1 điểm nằm giữa B và C. Gọi D và E lần lượt đối xứng với M qua AB và AC.
a) Chứng minh AD = AE.
b) Tính số đogóc DAE nếu số đo góc BAC là x.
c) Tìm vị trí của M trên BC để DE ngắn nhất.
cs vẽ hình
a: Ta có: M và D đối xứng với nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của MD
=>AM=AD(1)
Ta có: M và E đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của ME
=>AM=AE(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD=AE
b: Ta có: ΔADM cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là tia phân giác của góc DAM(1)
Ta có: ΔAEM cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là tia phân giác của góc EAM(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAM}+\widehat{EAM}=2\cdot\widehat{A}=2x\)
hay \(\widehat{DAE}=2\cdot x\)
Cho tam giác abc nhọn . Lấy điểm M bất kì trên bc . Vẽ các điểm M và N lần lượt đối xứng với D qua AB và AC chứng minh góc MAN có số đo không đổi
giúp em với ạ, em đang cần gấp ạ, ai làm em cho like ạ
Ta có: M và D đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của MD
Suy ra: AD=AM
Xét ΔADM có AD=AM(cmt)
nên ΔADM cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
mà AB là đường trung trực ứng với cạnh đáy MD(gt)
nên AB là tia phân giác của \(\widehat{MAD}\)
Ta có: D và N đối xứng nhau qua AC(gt)
nên AC là đường trung trực của DN
Suy ra: AD=AN
Xét ΔADN có AD=AN(cmt)
nên ΔADN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
mà AC là đường trung trực ứng với cạnh đáy DN(gt)
nên AC là tia phân giác của \(\widehat{DAN}\)
Ta có: \(\widehat{MAN}=\widehat{MAD}+\widehat{NAD}\)
\(=2\cdot\widehat{BAD}+2\cdot\widehat{CAD}\)
\(=2\cdot\widehat{BAC}\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}\)=700, B và C là góc nhọn. M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với AB và AC.
a) Tính các góc của tam giác ADE.
b) Chứng minh MA là tia phân giác của góc IMK.
c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài ngắn nhất.
â, Vì D đối xứng với M qua AB ⇒ AD=AM ⇒ ΔADM cân tại A ⇒ ∠A1= ∠A2=1/2 ∠DAM ⇒ ∠DAM=2 ∠A2
Vì E đối xứng với M qua AC ⇒ AE=ÂM ⇒ ΔAEM cân tại A ⇒ ∠A3= ∠A4=1/2 ∠AEM ⇒ ∠AEM=2 ∠A3
⇒ ∠DAE= ∠DAM+ ∠MAE
=2 lần góc A2+ 2 lần góc A3
=2(góc A2+A3)
= 2 lần góc BAC
= 2.70=140
Xét ΔDAE có AD=AE(=ÂM) ⇒ ΔDAE cân tại A
⇒ ∠ADE= ∠AED=180- ∠DAE/2=180-140/2=40/2=20
b, Xét ΔADI và ΔAMI có:
AD=AM(cmt)
∠A1= ∠A2
ẠI chúng
⇒ΔADI = ΔAMI(c.g.c)
⇒ ∠ADI= ∠AMI( 2 góc t/u) (1)
Xét ΔAMK và ΔAEK có:
ÂM=AE(cmt)
∠A3= ∠A4
AK chúng
⇒ΔAMK = ΔAEK(c.g.c)
⇒ ∠AMK= ∠AEK( 2 góc t/u) (2)
mà góc ADE= AED (3)
Từ (1),(2),(3) ⇒ ∠AMI= ∠AMK ⇒AM là tia phân giác ∠IMK
c, Để DE ngắn nhất ⇔ ΔADE cân tại A có AD=AE ngắn nhất
má AD=AE=AM(cmt) ⇔AM ngắn nhất
Kẻ AH vuông góc BC ⇒ ΔAHM vuông tại H ⇒AH ≤AM
AM ngắn nhất ⇔AM=AH ⇔ ∠M= ∠H
Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi
b) Xác định vị trí của D để MN có độ dài ngắn nhất.
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm bất kỳ nằm giữa B và C. Vẽ D đối xứng với M qua AB, E đối xứng với M qua AC.
a) Chứng minh D, A, E thẳng hàng và A là trung điểm của DE
b) Chứng minh MD vuông góc với ME
c) Chứng minh DB // CE
d) Tìm vị trí của M trên BC để DE nhỏ nhất.
a: M đối xứng D qua AB
=>AB là trung trực của MD
=>AM=AD
=>AB là phân giác của góc MAD(1)
M đối xứng E qua AC
=>AC là trung trực của ME
=>AM=AE
=>AC là phân giác của góc MAE(2)
Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ
=>D,A,E thẳng hàng
mà AD=AE
nên A là trung điểm của DE
b: Xét ΔMED có
MA là trung tuyến
MA=DE/2
=>ΔMED vuông tại M
c: Xét ΔAMB va ΔADB có
AM=AD
góc MAB=góc DAB
AB chung
=>ΔAMB=ΔADB
=>góc ADB=90 độ
=>BD vuông góc DE(3)
Xét ΔAMC và ΔAEC có
AM=AE
MC=EC
AC chung
=>ΔAMC=ΔAEC
=>góc AEC=90 độ
=>CE vuông góc ED(4)
Từ (3), (4) suy ra DB//CE
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn trong đó có góc A có số đo bằng 60°. Lấy D là điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua cạnh AB và AC. EF cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh rằng EF = AF
b) Tính góc EAF
c) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN
a: Ta có: D và E đối xứng nhau qua AB
nên AD=AE
=>ΔADE cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc EAD(1)
Ta có: D và F đối xứng nhau qua AC
nên AD=AF
=>ΔADF cân tại A
=>AC là phân giác của góc DAF(2)
Ta có: AE=AD
AF=AD
Do đó: AE=AF
b: Từ (1) và (2) suy ra góc EAF=2xgóc BAC=120 độ
c: Xét ΔADM và ΔAEM có
AD=AE
góc DAM=góc EAM
AM chung
DO đó: ΔADM=ΔAEM
SUy ra: góc ADM=góc AEM(3)
Xét ΔADN và ΔAFN có
AD=AF
góc DAN=góc FAN
AN chung
Do đó; ΔADN=ΔAFN
Suy ra: góc ADN=góc AFN(4)
Từ (3) và (4) suy ra góc ADM=góc ADN
hay DA là phân giác của góc MDN
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là
chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.
a) Tứ giác AEHD là hình gì? Vì sao?
b) Vẽ điểm M đối xứng với D qua H và điểm N đối xứng với A qua H.Tứ giác AMND là hình
gì?Vì sao?
c) Gọi I là giao điểm của AM với HE. Biết HI = 2cm. Tính MN?
a: Xét tứ giác AEHD có
\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\)
Do đó: AEHD là hình chữ nhật