ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\notin\left\{1;\dfrac{25}{9};\dfrac{9}{4}\right\}\end{matrix}\right.\)

a: \(C=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{5}{2\sqrt{x}-3}\right):\left(3-\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-5\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{3\sqrt{x}-3-2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-5\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}-5}\)

\(=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}-3}\)

b: \(x=\dfrac{2}{2-\sqrt{3}}=2\left(2+\sqrt{3}\right)=4+2\sqrt{3}\)

Khi \(x=4+2\sqrt{3}\) thì \(C=-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{3}+1\right)-3}=\dfrac{-1}{2\sqrt{3}-1}=\dfrac{-2\sqrt{3}-1}{11}\)

c: C=-1

=>\(2\sqrt{x}-3=1\)

=>\(\sqrt{x}=2\)

=>x=4(nhận)

d: C>0

=>\(2\sqrt{x}-3< 0\)

=>\(\sqrt{x}< \dfrac{3}{2}\)

=>\(0< =x< \dfrac{9}{4}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0< =x< \dfrac{9}{4}\\x< >1\end{matrix}\right.\)

1/ \(y'=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)'x-x'\sqrt{x+1}}{x^2}=\dfrac{\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}}{x^2}=\dfrac{-x-2}{2x^2\sqrt{x+1}}\)

2/ \(y'=\dfrac{1-x^2-\left(1-x^2\right)'x}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}\)

3/ \(y'=\dfrac{-\left(x-\sqrt{x+1}\right)'}{\left(x-\sqrt{x+1}\right)^2}=\dfrac{-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\left(x-\sqrt{x+1}\right)^2}\)

4/ \(y'=f'\left(x\right)=2x-\dfrac{2x}{x^4}=2x-\dfrac{2}{x^3}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\dfrac{2x^4-2}{x^3}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)

5/ \(y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}}{2\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}}.\dfrac{1}{4\sqrt{1+x}.\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}=\dfrac{1}{4\sqrt{1+x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{1+x}=\sqrt{2}\Leftrightarrow1+x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)

Hãy nhớ câu tính đạo hàm này, bởi nó liên quan đến nguyên hàm sau này sẽ học

\(a=\dfrac{4}{\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\)

\(=4:\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(=\sqrt{3}\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{\sqrt{3}-1}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}-1}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1+2\cdot\sqrt{2}\right)}{2}\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

a. ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

\(y=\sqrt{x^3+1+2\sqrt{x^3+1}+1}+\sqrt{x^3+1-2\sqrt{x^3+1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x^3+1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x^3+1}-1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{x^3+1}+1\right|+\left|1-\sqrt{x^3+1}\right|\ge\left|\sqrt{x^3+1}+1+1-\sqrt{x^3+1}\right|=2\)

b.

\(f\left(x\right)=\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)

c.

\(y=\dfrac{x-2018+1}{\sqrt{x-2018}}=\sqrt{x-2018}+\dfrac{1}{\sqrt{x-2018}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x-2018}}{\sqrt{x-2018}}}=2\)

$A=2x-\sqrt{x}=2(x-\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4^2})-\frac{1}{8}$

$=2(\sqrt{x}-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8}$

$\geq \frac{-1}{8}$

Vậy $A_{\min}=-\frac{1}{8}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{16}$

$B=x+\sqrt{x}$

Vì $x\geq 0$ nên $B\geq 0+\sqrt{0}=0$

Vậy $B_{\min}=0$. Giá trị này đạt tại $x=0$

Vì $2-x\geq 0$ (theo ĐKXĐ) nên $C=1+\sqrt{2-x}\geq 1$

Vậy $C_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $2-x=0\Leftrightarrow x=2$

Lời giải:
Ta thấy: $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+3\geq 3$

$\Rightarrow E=11+\frac{6}{\sqrt{x}+3}\leq 11+\frac{6}{3}=13$

Vậy GTLN của $E$ là $13$. Giá trị này đạt tại $x=0$

$E$ không có giá trị nhỏ nhất.

------------------------

$F=\frac{\sqrt{x}+3-5}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{5}{\sqrt{x}+3}$

Ở trên ta chỉ ra được: $\sqrt{x}+3\geq 3$

$\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}+3}\leq \frac{5}{3}$

$\Rightarrow F=1-\frac{5}{3}\geq 1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}$

Vậy $F_{\min}=\frac{-2}{3}$ tại $x=0$

a: ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le2\end{matrix}\right.\)

b: ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x>\dfrac{2\sqrt{14}}{7}\\x< -\dfrac{2\sqrt{14}}{7}\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: \(x=\dfrac{1}{3}\)

d: ĐKXĐ: \(-\dfrac{2}{3}< x\le\sqrt{3}\)