cho x,y>0 thỏa mãn \(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}=1\).Tìm GTNN của P=\(\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{3y}+15xy\)
Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn \(2\sqrt{xy}+\dfrac{x}{3}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{3y}+15xy\)
Cho 2 số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x+y+xy=3\)
Tìm Min \(\dfrac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x+3y}}+\dfrac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y+3x}}\)
Cho số thực x; y; z lớn hơn 0 thoả mãn: \(3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}=2\)
Tìm GTNN của \(A=\dfrac{5yz}{x}+\dfrac{7xz}{y}+\dfrac{8xy}{z}\)
\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)
\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)
\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)
\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)
\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)
Cho 0<x,y,z<\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn xy+yz+zx=\(\dfrac{3}{4}\)
Tìm Min \(Q=\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}+\dfrac{4y^2}{y\left(3-4y^2\right)}+\dfrac{4z^2}{z\left(3-4z^2\right)}\)
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
cho x,y,z là 2 số thực dương thỏa mãn \(2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1\) Tính GTNN của biểu thức
P= \(\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4xz}{y}+\dfrac{5xy}{z}\)
Bạn tham khảo:
cho x,y,z >0 thỏa mãn \(2\sqrt{y}+\sqrt{z}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). CMR: \(\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}\ge... - Hoc24
Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(2\sqrt{xy}+\dfrac{x}{3}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}+15xy\)
Cho 0<x,y,z<\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn xy+yz+zx=\(\dfrac{3}{4}\)
Tìm Min Q=\(\dfrac{4x^2}{x\left(32-4x^2\right)}+\dfrac{4y^2}{y\left(32-4y^2\right)}+\dfrac{4z^2}{z\left(32-4z^2\right)}\)
Cho x, y, z >0 thỏa mãn : xyz=1. CMR :
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{xz}\ge3\sqrt{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)
=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)
Cho x,y thỏa mãn 0 < x < 1; 0<y<1 và \(\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{y}{1-y}=1\). Tìm giá trị của P = \(x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
Có thể tìm được min của P chứ không thể tính ra được giá trị cụ thể của P (biểu thức P vẫn phụ thuộc x;y, cụ thể sau khi rút gọn \(P=2\left(x+y\right)-1\))
\(\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{y}{1-y}=1\Leftrightarrow1+\dfrac{x}{1-x}+1+\dfrac{y}{1-y}=3\)
\(\Leftrightarrow3=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1-y}\ge\dfrac{4}{2-\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow2-\left(x+y\right)\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow x+y\le\dfrac{2}{3}< 1\)
Cũng từ giả thiết:
\(\dfrac{x\left(1-y\right)+y\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=1\Leftrightarrow x+y-2xy=1-x-y+xy\)
\(\Leftrightarrow3xy=2\left(x+y\right)-1\)
Do đó:
\(P=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-3xy}=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1}\)
\(P=x+y+\sqrt{\left(1-x-y\right)^2}=x+y+1-x-y=1\)
À tính được P, nãy xác định ngược dấu.