\(ac+bd=0\)

\(=\) \(abc^2+abd^2+cda^2+cdb^2\)

\(=\)  \(ac\left(bc+ad\right)+bd\left(ad+bc\right)\)

\(=\)  \(\left(bc+ad\right)\left(ac+bd\right)=0\) \([\) vì ac+bd = 0 \(]\)

Ta có :

\(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac\)

mà theo đề bài \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-\left(ab+bc+ac\right)=0\)

mà \(-\left(ab+bc+ac\right)\le0\)

\(\Rightarrow a=b=c=0\)

\(\Rightarrow dpcm\)

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Do \(VT\ge0\forall a;b;c\) mà \(VT=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có đpcm

\(1,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\\ =a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ =a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\\ =\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\\ =a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\\ =\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

2, \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\ge a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2-2abcd+a^2d^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bc-ad\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bc=ad\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(1\)/ 

⇔ \(\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

⇔\(a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

⇔\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\) ⇒ \(\left(dpcm\right)\)

\(2\)/

⇔\(\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\ge\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2\)

⇔\(\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\ge0\)

⇔\(\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

1/ \((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ac)^2 + (bd)^2 + 2(ac)^2 (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2(ad)^2 (bc)^2 \)

                                          \(= (ac)^2 + (bd)^2 + 2(acbd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2(adbc)^2 \)

                                          \(= (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2\)

                                          \(= a^2 c^2 + b^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 d^2\)

                                          \(= (a^2 + b^2)c^2 + (a^2 + b^2)d^2\)

                                          \(= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)

➤ \((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)

2/ \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 \) 

↔ \((ac)^2 + (bc)^2 + (ad)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + (bd)^2 + 2(ac)(bd)\)

↔\( (bc)^2 + (ad)^2 ≥ 2(acbd)\)

↔\( (bc)^2 + (ad)^2 - 2(bcad) ≥ 0\)

↔ \( (bc - ad)^2 ≥ 0 \) với mọi a,b,c và d

➤ \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 \) với mọi a,b,c,d

\(1.a,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(b,\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ad-bc\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\left(luôn-đúng\right)\)

\(dấu"='\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(c2:x+y=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=1\)

Câu 1:

a)Ta có (ac+bd)²+(ad-bc)²=(ac)²+2abcd+(bd)²+(ad)²-2abcd+(bc)²

                                          =(ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²

                                          =a²(c²+d²)+b²(c²+d²)

                                          =(a²+b²)(c²+d²) (đpcm)

b)Ta có (ac+bd)² = (ac)²+2abcd+(bd)²

Lại có (a²+b²)(c²+d²) = (ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²

Ta có (ac+bd)² ≤  (a²+b²)(c²+d²) 

<=>(a²+b²)(c²+d²) - (ac+bd)² ≥ 0

<=>(ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²-[(ac)²+2abcd+(bd)²]

<=>(ad)² - 2abcd +(bc)² ≥ 0

<=>(ad-bc)² ≥ 0 (Luôn đúng) => đpcm

Câu 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có (x+ y)² ≤ (x² + y²)(1² + 1²) => 4  2.S => 2  S

Dấu ''='' xảy ra <=> x=y=1

Vậy Min S=2 <=> x=y=1

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

bạn hỏi từ từ thôi