a) x² + 1 = 2^y (1)

+) y = 0, thay (1) ta được: x² + 1 = 2⁰ = 1

=> x² = 0 => x = 0 (TM)

+) y = 1, thay vào (1) ta được: x² + 1 = 2¹ = 2

=> x² = 1; x \(\in N\) nên x = 1 (TM)

+) y \(\ge2\) thì 2^y chẵn và 2^y chia hết cho 4 (*)

x² lẻ => x² chia 4 dư 1 => 2^y = x² + 1 chia 4 dư 2, mâu thuẫn với (*)

Vậy (x;y)=(0;0); (x;y)=(1;1)

b) x² = 4^y + 5 (2)

+) y = 0 không thỏa mãn x \(\in N\)

+) y = 1, thay vào (2) ta được: x² = 4¹ + 5 = 9

\(x\in N\) nên x = 3 (TM)

+) \(y\ge2\) thì 4^y chẵn và 4^y + 5 chia 8 dư 5 (-)

x² lẻ => 4^y + 5 = x² chia 8 dư 1, mâu thuẫn với (-)

Vậy (x;y)=(3;1)

c) 5x³ = 3^y + 317 (3)

Ta thấy 3^y + 317 = 5x³ tận cùng là 0 hoặc 5

=> 3^y tận cùng là 3 hoặc 8

3^y lẻ nên 3^y tận cùng là 3 => y = 4k + 1 (k \(\in N\))

+) k = 0 thì y = 1, thay vào (3) được: 5x³ = 3¹ + 317 = 320

=> x³ = 64 => x = 4 (TM)

+) k \(\ge1\)

Ta có: \(3^{4k+1}=81^k.3\equiv1.3\left(mod16\right)\equiv3\left(mod16\right)\)

317 \(\equiv13\left(mod16\right)\)

Do đó, \(5x^3=3^y+317=3^{4k+1}+317⋮16\)

Mà (5;16)=1 nên \(x^3⋮16\)\(\Rightarrow x⋮4\Rightarrow3^y+317=5x^3⋮32\)

317 chia 32 dư 29 nên 81^k.3 = 3^y chia 32 dư 3

\(\Rightarrow81^k⋮32\), vô lý vì 81^k lẻ \(\forall k\in N\)

Vậy (x;y)=(4;1)

\(x^2=4^y+5\)

\(\Leftrightarrow x^2-4^y=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2^y\right)\left(x-2^y\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x+2^y,x-2^y\right)=\left(1,5;5,1;-1,-5;-5,-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(3,1;-3,1\right)\)

ta thấy x² chia 4 dư 0 hoặc 1 hay là x² có dạng 4k+1 hoặc 4k

mà 4^y chia 5 dư 4 hoặc 1 nên có dạng 4k+4 hoặc 4k+1

nên phương trình vô nghiệm

Với y chẵn thì ta đặt \(y=2k\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2^{2k}=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2^k\right)\left(x-2^k\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2^k;x-2^k\right)=\left(1,-1;-1,1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\k=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

Tương tự cho trường hợp y lẻ xong rồi kết luận.

Ta có 3x³ + 5x² = x(y - 3) + y - 6

<=> 3x³ + 5x² = xy - 3x + y - 6

<=> 3x³ + 5x² - xy + 3x - y  +6 = 0 

<=> (3x³ + 6x² + 3x) - y(x + 1) - (x² - 1) = -5

<=> 3x(x + 1)² - y(x + 1) - (x - 1)(x + 1) = -5

<=> (x + 1)(3x² + 3x - y - x + 1) = -5

<=> (x + 1)(3x² + 2x + 1 - y) = -5

Lập bảng xét các trường hợp : 

Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn là (0;6) ; (-6;96) ; (-2;4) ; (4;58) 

cẩm ơn bạn hiền

\(\Leftrightarrow5\left(x^4+2x^2+1\right)+2\left(y^6+2y^3+1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+1\right)^2+2\left(y^3+1\right)^2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2=\dfrac{13-2\left(y^3+1\right)^2}{5}\le\dfrac{13}{5}< 4\)

\(\Rightarrow x^2+1< 2\Rightarrow x^2< 1\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow y^6+2y^3-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^3=1\Rightarrow y=1\\y^3=-3\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\)