Lời giải + diễn giải

để hàm có cực trị f'(x) phải có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm

a) \(y'=3x^2-6x+m\)

xét f(x)= 3x^2 -6x+m

để f(x) là hàm bậc 2 => có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm đk cần và đủ \(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m>0\Rightarrow m< 3\)

Kết luận với m< 3 hàm A(x) luôn có cực trị

b)

\(y'=3x^2+4mx+m\)

\(\Delta'=4m^2-3m>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

c)

\(y=\dfrac{x^2-2mx+5}{x-m}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne m\\y=\left(x-m\right)+\dfrac{5-m^2}{x-m}\end{matrix}\right.\)

\(y'=1+\dfrac{m^2-5}{\left(x-m\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+m^2-5=0\Rightarrow5-m^2>0\Rightarrow-\sqrt{5}< m< \sqrt{5}\)

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

Xét g(x) = x 2  – 2mx – 2 m 2  + 3

∆ ’g =  m 2  + 2 m 2  – 3 = 3( m 2  – 1) ;

∆ ’g  ≤ 0 khi – 1  ≤  m  ≤  1.

Khi – 1  ≤  m  ≤  1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên

tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x  ≠  1) hoặc y = x – 3 (với x  ≠  - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1  ≤  m  ≤  1.

\(y'=\dfrac{x^2-2x+2m-2}{\left(x-1\right)^2}\)

Hàm có 2 cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-3\ne0\\\Delta'=1-\left(2m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< \dfrac{3}{2}\)

Khi đó, phương trình đường thẳng qua 2 cực trị có dạng:

\(y=\dfrac{2x-2m}{1}=2x-2m\)

Đường thẳng này có cùng hệ số góc với d nên chúng song song nhau

Hàm số xác định khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2mx+2018m+2019>0\\mx^2+2mx+2020\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2+2mx+2018m+2019\)

Có: \(\Delta'=m^2-2018m-2019\)

Để \(f\left(x\right)>0\) thì \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m^2-2018m-2019< 0\Leftrightarrow-1< m< 2019\)(*)

Xét \(g\left(x\right)=mx^2+2mx+2020\)

Dễ thấy \(m=0\) thì \(g\left(x\right)=\sqrt{2020}>0\)(1)

Để \(g\left(x\right)\ge0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-2020m\le0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow0< m\le2020\) (2)

 (1),(2)\(\Rightarrow g\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow0\le m\le2020\) (**)

(*),(**) suy ra hàm số xác định khi \(0\le m< 2019\)

Do đó tập hợp các giá trị nguyên của m để hàm số xác định là:

\(S=\left\{m\in Z|0\le m< 2019\right\}\) và tập hợp có 2019 phần tử

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ' = m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

∆ ' =  m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔ 

\(y=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2=m\end{cases}\)

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị <=> phương trình y=0 có 3 nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=>m>0

- Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

\(A\left(0;m-1\right);B\left(-\sqrt{m};-m^2=m-1\right);\left(\sqrt{m};-m^2=m-1\right)\)

- \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|.\left|x_C-x_B\right|=m^2\sqrt{m}\); \(AB=AC=\sqrt{m^4+m},BC=2\sqrt{m}\)

- \(R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}}=1\Leftrightarrow\frac{\left(m^4+m\right)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=1\)\(\Leftrightarrow m^3-2m+1=0\)

                                                                \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{cases}\)