Tứ giác ABCD có 

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = R

Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD

Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

- Tứ giác ABCD có \(\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o\)mà hai góc ABC và ADC là 2 góc ở vị trí đối nhau 

=> Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

- Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , khi đó OA = OB = OC = OD ( cùng bán kính của đường tròn ( O ))

+) Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn thằng AB

+) Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC

+) VÌ OD = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn thằng BD

Do đó các đường trung trực của AB , BD cùng đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

 

Tứ giác ABCD có 

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = R

Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD

Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

Kiến thức áp dụng

+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180º thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Nhận xét: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC vì ^ABC=^CDA=90⁰. Gọi tâm của đường tròn này là O. Khi đó thì O chính là trung điểm đoạn AC. Ta thấy M là 1 điểm chung của (S) và (T), đồng thời là trung điểm BD nên M nằm trên trung trực BD. Gọi giao điểm thứ hai của (S) và (T) là L. Ta đi chứng minh L cũng nằm trên trung trực BD. Thật vậy:

Từ M kẻ MK vuông góc với đường thẳng ST. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của S,T lên MA,MC.

Khi đó các tứ giác KSEM, KTMS nội tiếp => ^EKF = ^MKE + ^MKF = ^MSE + ^MTF = (^ASM + ^CTM)/2

Ta thấy AC là tiếp tuyến chung của (S) và (T) nên ^MAC = ^ASM/2; ^MCA = ^CTM/2

Từ đó: ^EKF = ^MCA + ^MAC = ^EOA + ^FOC (Chú ý tứ giác MEOF là hbh) = 180⁰ - ^EOF

Suy ra tứ giác KEOF nội tiếp => ^EKO = ^EFO = ^MAC = ^MSE (=^ASM/2) = ^EKM

Mà M và O nằm cùng phía so với EK nên tia KM,KO trùng nhau hay O,M,K thẳng hàng 

Mặt khác: (S) và (T) cắt nhau tại M và L nên ML vuông góc ST. Do MK vuông góc ST nên M,K,L thẳng hàng

Vì vậy 4 điểm O,M,K,L thẳng hàng. Lại có OM là trung trực của BD => ML cũng là trung trực BD

Hay 2 giao điểm của (S) và (T) cùng nằm trên đường trung trực của BD (đpcm).

a: Xét ΔADC và ΔAEB có

AD=AE

góc A chung

AC=AB

=>ΔADC=ΔAEB

b: Gọi giao của 3 đường trung trực trong ΔABC là O

=>OB=OC

Kẻ OK vuông góc BC, OK cắt DE tại M

=>OK là trung trực của BC

Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC

=>OM vuông góc DE tạiM

Xét ΔOBD và ΔOCE có

OB=OC

góc OBD=góc OCE

BD=CE

=>ΔOBD=ΔOCE

=>OE=OD

=>OM là trung trực của DE

Hình vẽ minh hoạ 

a. Ta có: AD = AB 

=> \(\Delta ABD\) là tam giác cân

=> Góc ADB = góc ABD (1)

Mà góc ABD = góc BDC (so le trong) (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

BD là tia phân giác của góc ADC

b. Nối AC

Xét 2 tam giác ABC và ABD có:

AD = BC (gt)

AB chung

=> \(\Delta ABD\sim\Delta ABC\) (1)

Ta có: AD = AB = BC (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \(\Delta ABD=\Delta ABC\)

=> Góc A = góc B

Ta có: AB//CD

=> Góc D + góc A = 90^o (2 góc trong cùng phía)

Mà góc A = góc B

=> Góc C = góc D

=> ABCD là hình thang cân

Nhưng bậy giờ bn chỉ cần chứng minh đó là hình thang là đc

Cho hình thang cân ABCD (BC//AD), hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại điểm O sao cho \widehat{BOC} = 60 độ. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,OA,AB,CD.a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp đượcb) Chứng minh tam giác MNQ là tam giác đềuc) So sánh các góc \widehat{MQP}, \widehat{QND}, \widehat{NMC} d) Chứng minh trực tâm của tam giác MNQ thẳng hàng với O, I 

a)DC//BE (cùng vuông góc với AC);DB//CE (cùng vuông góc với AB) => là hình bình hành

b) hình bình hình thì 2 đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường hay DE cắt BC tại M và M là trung điểm DE

Để DE đi qua A tức là D;E;A thằng hàng

mà AE là một đường cao hay AE vuông góc BC nên D;E;A thẳng hàng tức là DE vuông góc với BC 

hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi

c) tứ giác ABDC có góc DBA +góc DCA =180 nên góc BAC+ góc BDC=180

Mượn hình của bạn Manh nhé!

a) Ta có: DB // CK ( \(\perp\)AB)

=> DB // CE   (1)

BH // DC ( \(\perp\) AC )

=> DC // BE  (2)

Từ (1) ; (2) => DBEC là hình bình hành.

b) +) Theo câu a) DBEC là hình bình hành 

=> Hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm BC => M là trung điểm DE.

+) CK; BH là hai đường cao của \(\Delta ABC\)  và CK ; BH cắt nhau tại E.

=> E là trực tâm của \(\Delta ABC\)

=> AE là đường cao hạ từ A. (3)

Theo giả thiết DE qua A  mà DE cắt BC tại M là trung điểm cạnh  BC

=> AE qua trung điểm của cạnh BC

=>  AE là đường trung tuyến  của \(\Delta ABC\) (4)

Từ (3); (4) => \(\Delta ABC\) cân tại A

c) Em tham khảo bài làm bạn Manh.