Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn \(u_n< M\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits u_n=a\) thì \(a\le M\) ?
Cho hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\). Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits v_n=0\) và \(\left|u_n\right|\le v_n\) với mọi n thì \(\lim\limits u_n=0\) ?
Biết dãy số \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn \(\left|u_n-1\right|< \dfrac{1}{n^3}\) với mọi n. Chứng minh rằng \(\lim\limits u_n=1\) ?
Vì lim = 0 nên || có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, ta có |un -1| < = || với mọi n. Nếu |un -1| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim (un -1) = 0. Do đó lim un = 1.
Có \(lim\dfrac{1}{n^3}=0\) mà \(\left|u_n-1\right|< \dfrac{1}{n^3}\) nên \(lim\left|u_n-1\right|=0\).
Suy ra: \(lim\left(u_n-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow limu_n=1\).
Cho dãy (Un) thoả mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}U_1\in\left(0;1\right)\\U_{n+1}=U_n-U_n^2\end{matrix}\right.\) với \(n\ge1\)
Tính \(\lim\limits\left(U_n\right)\), \(\lim\limits\left(nU_n\right)\) và \(\lim\limits\dfrac{n\left(nU_n-2\right)}{\ln n}\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+4,\forall n\in N,n\ge1\end{matrix}\right.\)
Tìm \(\lim\limits u_n\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.
Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.
Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.
Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3
Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.
Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.
Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.
b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.
Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)
= 2uk+1 - 2uk + 2015
Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:
∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1
= 2(u12 - u2) + 2015(12)
Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.
Giúp mình 2 câu này với.
1. Giả sử \(\left(u_n\right)_{n\ge1}\) là dãy số dương. Nếu \(\lim\limits_{ }u_n=a\in\left[0;+\infty\right]\) thì \(\lim\limits_{ }\sqrt[n]{u_1u_2...u_n}=a\)
2. Giả sử \(\left(u_n\right)_{n\ge1}\) là dãy số dương. Nếu \(\lim\limits_{ }\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=a\in\left[0;+\infty\right]\) thì \(\lim\limits_{ }\sqrt[n]{u_n}=a\)
Mình quên không nói là đề bài yêu cầu chứng minh 2 bổ đề trên.
Cho hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\). Biết \(\left|u_n-2\right|\le v_n\) với mọi n và \(\lim\limits v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left(u_n\right)\) ?
+ Với mọi n ∈ N*, ta có:
|un – 2| ≤ vn ⇔ -vn ≤ un – 2 ≤ vn
+ Mà lim (-vn) = lim (vn) = 0 nên
lim (un – 2) = 0 ⇔ lim un – lim 2 = 0 ⇔ lim un = 2
Cho dãy số dương \(\left( {{u_n}} \right)\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
=> Luôn đúng