Ý kiến sau đúng hay sai ?
"Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y=g\left(x\right)\) không liên tục tại \(x_0\), thì \(y=f\left(x\right)+g\left(x\right)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)"
Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0},\) còn hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0},\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\)”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.
Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.
Ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne g\left( {{x_0}} \right)\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x_0}} \right)\)
Vì vậy hàm số không liên tục tại x0.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}.\)
a) Giả sử \({x_0} \in \mathbb{R}.\) Hàm số \(f\left( x \right)\) có liên tục tại điểm \({x_0}\) hay không?
b) Quan sát đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\) (Hình 13), nếu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.
a) Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x + 1 = {x_0} + 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}.\)
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị \(x \in \mathbb{R}.\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \(x_0\)
Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=L\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục tại điểm \(x_0\) ?
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in (a;b)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) là:
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Theo lí thuyết ta chọn đáp án D.
Ý kiến sau đúng hay sai ?
"Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì
y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0."
Ý kiến đúng
Giả sử ngược lại y = f(x) + g(x) liên tục tại x0. Đặt h(x) = f(x) + g(x). Ta có g(x) = h(x) - f(x).
Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại x0 nên hiệu của chúng là hàm số y = g(x) phải liên tục tại x0. Điều này trái với giả thiết là y = g(x) không liên tục tại x0.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với \(f\left( 2 \right)\).
c) Với giá trị nào của \(k\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\)?
a) Với mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\).
\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy với \(k = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
Cho \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là hai hàm số có đạo hàm tại \({x_0}\). Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\).
Ta có \(\frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
nên \(h'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = ... + ...\)
Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm \(h'\left( {{x_0}} \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = f'\left( {{x_0}} \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = g'\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy \(h'\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right) + g'\left( {{x_0}} \right)\).
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).
Hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) có liên tục tại \(x = 2\) không? Giải thích.
Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} \). Ta có:
\(\begin{array}{l}h\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2} = 1 + \sqrt 2 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x} \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} } \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2} = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).
Xét tính liên tục của hàm số:
a) \(f\left( x \right) = 1 - {x^2}\) tại điểm \({x_0} = 3\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x > 1}\\{ - x}&{khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\).
a) \(f\left( 3 \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - 8\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
b) \(f\left( 1 \right) = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).