Question

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).

Hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) có liên tục tại \(x = 2\) không? Giải thích.

Answer 1

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} \). Ta có:

\(\begin{array}{l}h\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x} \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} } \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).