3:

a: =>x=0 hoặc x+5=0

=>x=0 hoặc x=-5

b: =>x^2=4

=>x=2 hoặc x=-2

c: =>(x-5)(2x+1+x+6)=0

=>(x-5)(3x+7)=0

=>x=5 hoặc x=-7/3

1.

a. 2x - 6 > 0 

\(\Leftrightarrow\)  2x  > 6

\(\Leftrightarrow\)    x  > 3

S = \(\left\{x\uparrow x>3\right\}\) 

b. -3x + 9 > 0

\(\Leftrightarrow\)  - 3x   > - 9 

\(\Leftrightarrow\)      x < 3

S = \(\left\{x\uparrow x< 3\right\}\) 

c. 3(x - 1) + 5 > (x - 1) + 3

\(\Leftrightarrow\) 3x - 3 + 5 > x - 1 + 3

\(\Leftrightarrow\) 3x - 3 + 5 - x + 1 - 3 > 0

\(\Leftrightarrow\) 2x > 0 

\(\Leftrightarrow\)   x > 0

S = \(\left\{x\uparrow x>0\right\}\) 

d. \(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{2}>\dfrac{x}{6}\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x}{6}-\dfrac{3}{6}>\dfrac{x}{6}\)

\(\Leftrightarrow2x-3>x\)

\(\Leftrightarrow2x-3-x>0\)

\(\Leftrightarrow x-3>0\)

\(\Leftrightarrow x>3\)

\(S=\left\{x\uparrow x>3\right\}\)

2.

a. 

Ta có: a > b

3a > 3b (nhân cả 2 vế cho 3)

3a + 7 > 3b + 7 (cộng cả 2 vế cho 7)

b. Ta có: a > b

a > b (nhân cả 2 vế cho 1)

a + 3 > b + 3 (cộng cả 2 vế cho 3) (1)

Ta có; 3 > 1

b + 3 > b + 1 (nhân cả 2 vế cho 1b) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) a + 3 > b + 1 

c.

5a - 1 + 1 > 5b - 1 + 1 (cộng cả 2 vế cho 1)

5a . \(\dfrac{1}{5}\) > 5b . \(\dfrac{1}{5}\) (nhân cả 2 vế cho \(\dfrac{1}{5}\) )

a > b

3.

a. 2x(x + 5) = 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\) 

\(S=\left\{0,-5\right\}\)

b. x² - 4 = 0 

\(\Leftrightarrow x\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

\(S=\left\{0,4\right\}\)

d. (x - 5)(2x + 1) + (x - 5)(x + 6) = 0

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(2x+1+x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(3x+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-5=0\\3x+7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-7}{3}\end{matrix}\right.\)

\(S=\left\{5,\dfrac{-7}{3}\right\}\)

a: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\)

b: a<b

=>-2a>-2b

=>-2a-3>-2b-3

c: =x^2+2xy+y^2+y^2+6y+9

=(x+y)^2+(y+3)^2>=0 với mọi x,y

d: a+3>b+3

=>a>b

=>-5a<-5b

=>-5a+1<-5b+1

Sửa: Cho a+b<0

\(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^3}{8}\ge\dfrac{a^3+b^3}{2}\\ \Leftrightarrow2\left(a+b\right)^3\ge8\left(a^3+b^3\right)\\ \Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)+6ab\left(a+b\right)\ge8\left(a^3+b^3\right)\\ \Leftrightarrow6ab\left(a+b\right)-6\left(a^3+b^3\right)\ge0\\ \Leftrightarrow6\left[ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\right]\ge0\\ \Leftrightarrow6\left(a+b\right)\left(-a^2+2ab-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow-6\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng do }-6< 0;a+b< 0\right)\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b< 0\)

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái màn hình) để đề trông rõ ràng hơn $\Rightarrow$ khả năng được giải đáp cao hơn.

Sửa đề: CMR $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}=\frac{a^4+b^4}{ab}$

$\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2ab}\geq \frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}=a^2+b^2(1)$

Mà:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$a^2+b^2\geq 2ab$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)+2\geq 2(a+b+ab)=6$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a^3}{b}+b+1\geq 3a$

$\frac{b^3}{a}+a+1\geq 3b$

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+ab\geq 3ab$

Cộng theo vế:

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+(a+b+ab)+2\geq 3(a+b+ab)$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+3+2\geq 9$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Đề sai: Thế \(a=b=0,1\) là thấy

Câu này ở trong đề chuyên toán trường phổ thông năng khiếu ở HCM năm nay này.

Với đề cho số nguyên chứ không phải số hữu tỉ nhé bạn.