\(A=\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)^{2008}-\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)^{2008}\)
Chúng Mminh A là số hữu tỉ
Cho \(M=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2008}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2008}.\)
a) CMR M có giá trị nguyên
b) Tìm chữ số tận cùng của M
a/ Ta chứng minh: \(B=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2n}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2n}=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là số nguyên với mọi n
Với \(n=0\Rightarrow B=2\)
Với \(n=1\Rightarrow B=10\)
Giả sử nó đúng đến \(n=k\) hay
\(\hept{\begin{cases}\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}=a\\\left(5+2\sqrt{6}\right)^k+\left(5-2\sqrt{6}\right)^k=b\end{cases}}\) \(\left(a,b\in Z\right)\)
Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)
Ta có: \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k+1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k+1}\)
\(=\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5-2\sqrt{6}\right)^k\right)+\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5+2\sqrt{6}\right)^k\right)\)
\(=b\left(5+2\sqrt{6}\right)-\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}+b\left(5-2\sqrt{6}\right)-\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}\)
\(=10b-a\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
b/ Đặt \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n=x^n+y^n\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2=10x-1\\y^2=10y-1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow S_{n+2}=x^{n+2}+y^{n+2}=10\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-\left(a^n+b^n\right)=10S_{n+1}-S_n\)
\(\Rightarrow S_{n+2}+S_n=10S_{n+1}⋮10\)
Tương tự cũng có: \(S_{n+4}+S_{n+2}=10S_{n+3}⋮10\)
\(\Rightarrow S_{n+4}-S_n⋮10\)
Từ đây ta thấy được \(S_{n+4}\equiv S_n\left(mod10\right)\)
Mà \(S_0=2\)
Vậy với mọi n chia hết cho 4 thì số tận cùng của B là 2.
Quay lại bài toán ta thấy \(1004⋮4\) nên M sẽ có chữ số tận cùng là 2.
Cho \(M=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2008}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2008}\)
a: Chứng minh rằng Mcó giá trị nguyên
b: Tìm chữ số tận cùng của M
1, Rút gọn A = \(\frac{\sqrt{2+\sqrt{4-x^2}}\left[\sqrt{\left(2+x\right)^3}-\sqrt{\left(2-x\right)^3}\right]}{4+\sqrt{4-x^2}}\)
2, Cho trước số hữu tỉ m sao cho \(\sqrt[3]{m}\) là số vô tỉ. Tìm a, b, c hữu tỉ để \(a\sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0\)
Cho \(x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\)
Tính \(P=\left(2x^3-6x+2008\right)^{2020}\)
Giúp với ạ
Đề bài không chính xác rồi em
Muốn khử được căn ba thì trong biểu thức \(\left(2x^2-6x+2008\right)^{...}\) phải có bậc 3, mà ở đây chỉ có bậc 2
\(x=\sqrt[3]{3+2\sqrt[]{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt[]{2}}\)
\(x^3=6+3\left(\sqrt[3]{3+2\sqrt[]{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt[]{2}}\right)\sqrt[3]{\left(3+2\sqrt[]{2}\right)\left(3-2\sqrt[]{2}\right)}\)
\(x^3=6+3x\)
\(x^3-3x=6\)
\(P=\left[2\left(x^3-3x\right)+2008\right]^{2020}=\left(2.6+2008\right)^{2020}=2020^{2020}\)
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\) có các hệ số a,b là các số hữu tỉ và \(f\left(\sqrt{3}-1\right)=2021\). Tìm a,b và tính \(f\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\\ \Leftrightarrow f\left(\sqrt{3}-1\right)=a\left(4-2\sqrt{3}\right)+b\left(\sqrt{3}-1\right)+2020=2021\\ \Leftrightarrow4a-2a\sqrt{3}+b\sqrt{3}-b-1=0\\ \Leftrightarrow\left(4a-b-1\right)-\sqrt{3}\left(2a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow4a-b-1=\sqrt{3}\left(2a-b\right)\)
Vì a,b hữu tỉ nên \(4a-b-1;2a-b\) hữu tỉ
Mà \(\sqrt{3}\) vô tỉ nên \(\sqrt{3}\left(2a-b\right)\) hữu tỉ khi \(2a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b-1=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow f\left(1+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4+2\sqrt{3}\right)+1+\sqrt{3}+2020=2023+2\sqrt{3}\)
Cho x,y,z dương thỏa mãn xy+yz+zx=2008. Chứng minh rằng giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào x,y,z.
\(M=x\sqrt{\dfrac{\left(2008+y^2\right)\left(2008+z^2\right)}{2008+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(2008+z^2\right)\left(2008+x^2\right)}{2008+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(2008+x^2\right)\left(2008+y^2\right)}{2008+z^2}}\)
M = x.√[(2008+y²).(2008+z²)\(2008+x²)] + y.√[(2008+x²).(2008+z²)\(2008+y²)] + z.√[(2008+y²).(2008+x²)\(2008+z²)]
ta có:
2008 + x² = xy + xz + yz + x²
2008 + x² = (x+y).(x+z)
tương tự: 2008 + y² = (x+y).(y+z) và 2008 + z² = (z+y).(x+z)
chỉ việc thay vào rùi rút gọn thui
=> M = x.√[(x+y).(y+z).(x+z).(z+y)\ (x+y).(x+z)] + y.√[(x+y).(x+z).(x+z).(z+y)\(y+x).(y+z)] + z.√[(x+y).(x+z).(y+z).(y+x)\(x+z).(z+y)]
=> M = x.|y+z| + y.|z+x| + z.|x+y|
=> M = 2.2008
Thay \(xy+yz+xz=2018\) ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2018+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\\2018+y^2=y^2+xy+yz+xz=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\\2018+z^2=z^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)
Sau đó thay vào lần lượt đề bài là được
a) Cho 0<x<y thỏa mãn \(2x^2+2y^2=5xy\). Tính E=\(\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\)
b) Cho x=\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\)+ \(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\). Tính giá trị biểu thức
P=\(\left(2x^3-6x+2008\right)^{2021}\)
a)
Ta có: $2x^2+2y^2=5xy \Leftrightarrow 2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=5$
Đặt $t=\frac{x}{y}$, ta có $2t+\frac{1}{t}=5 \Rightarrow 2t^2-5t+1=0$
Giải phương trình trên ta được $t_1=\frac{1}{2}$ và $t_2=1$. Vì $0<x<y$ nên $t>0$, do đó $t=\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$.
Từ đó suy ra $x=\frac{y}{2}$ và thay vào biểu thức $E$ ta được:
$E=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{\frac{y^2}{4}+y^2}{\frac{y^2}{4}-y^2}=-\frac{5}{3}$
Vậy kết quả là $E=-\frac{5}{3}$.
đặt $a=\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$, $b=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}$
Khi đó:
$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$
$$a^3+b^3=\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\right)^3= \frac{1}{3-2\sqrt{2}}+(3-2\sqrt{2})=4$$
$$ab=\frac{1}{\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}}\cdot\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\sqrt[3]{1}=1$$
Do đó, ta có:
$$(a+b)^3=4+3ab(a+b)=4+3(a+b)$$
Vậy $2x^3=2(a+b)^3=8+6(a+b)$ và $6x=6(a+b)$.
Thay vào biểu thức $P$, ta được:
$$P=\left(2x^3-6x+2008\right)^{2021}=\left(8+6(a+b)-6(a+b)+2008\right)^{2021}=2016^{2021}$$
Vậy kết quả là $P=2016^{2021}$.
\(\frac{6\sqrt[4]{2008}}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{8}}=\frac{6\sqrt[4]{2008}}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt[4]{2}+1\right)}\)
\(=\frac{6\sqrt[4]{2008}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt[4]{2}+1}=6\sqrt[4]{2008}\left(\sqrt[4]{2}-1\right)\)
4a
ta có:
(a-1)3+a3+(a+1)3=3a3+6a=3a(a2+2)
xét a chia hết cho 3=>(a-1)3+a3+(a+1)3 chia hết cho 9
xét a ko chia hết cho 3=>a2 chia 3 dư 1
=>a2+2 chia hết cho 3
=>(a-1)3+a3+(a+1)3 chia hết cho 9
b,
x2+y2+z2+t2-x(y+z+t)=0
=(1/4x^2-xy+y2)+(1/4x2-xz+z2)+(1/4x2-xt+t2)+1/4x2=0
<=>(1/2x-y)2+(1/2x-z)2+(1/2x-t)2+1/4x2=0
<=>x=y=z=t=0
b / Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau đôi một
Chứng minh A= \(\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}}\) là số hữu tỉ
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\cdot0}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\left(đpcm\right)\)