\(f\left( { - 3} \right) = {\left( { - 3} \right)^2} + 4 = 9 + 4 = 13\);

\(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 4 = 4 + 4 = 8\);

\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 4 = 1 + 4 = 5\);

\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 4 = 0 + 4 = 4\);

\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 4 = 1 + 4 = 5\).

\(f\left( { - 3} \right) =  - {\left( { - 3} \right)^2} + 1 =  - 9 + 1 =  - 8\);

\(f\left( { - 2} \right) =  - {\left( { - 2} \right)^2} + 1 =  - 4 + 1 =  - 3\);

\(f\left( { - 1} \right) =  - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 =  - 1 + 1 = 0\);

\(f\left( 0 \right) =  - {0^2} + 1 = 0 + 1 = 1\);

\(f\left( 1 \right) =  - {1^2} + 1 =  - 1 + 1 = 0\);

\(\text{1)}\)

\(\text{Thay }x=-2,\text{ ta có: }f\left(-2\right)-5f\left(-2\right)=\left(-2\right)^2\Rightarrow f\left(-2\right)=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+5f\left(-2\right)=x^2-5\)

\(f\left(3\right)=3^2-5\)

\(\text{2)}\)

\(\text{Thay }x=1,\text{ ta có: }f\left(1\right)+f\left(1\right)+f\left(1\right)=6\Rightarrow f\left(1\right)=2\)

\(\text{Thay }x=-1,\text{ ta có: }f\left(-1\right)+f\left(-1\right)+2=6\Rightarrow f\left(-1\right)=2\)

\(\text{3)}\)

\(\text{Thay }x=2,\text{ ta có: }f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)=2^2\text{ (1)}\)

\(\text{Thay }x=\frac{1}{2},\text{ ta có: }f\left(\frac{1}{2}\right)+3f\left(2\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2\text{ (2)}\)

\(\text{(1) - 3}\times\text{(2) }\Rightarrow f\left(2\right)+3f\left(\frac{1}{2}\right)-3f\left(\frac{1}{2}\right)-9f\left(2\right)=4-\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-8f\left(2\right)=\frac{15}{4}\Rightarrow f\left(2\right)=-\frac{15}{32}\)

sai 1 chút chỗ cÂU 3

nhân vs 3 thì phải là 1/12

thay x bằng ? mik cũng ko bit làm lên vào đây tham khảo hihihihi

Vẫn là đạo hàm của tích

Dễ dàng viết được:

\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]'.f'\left(x\right)+f\left(x\right).\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'\)

Do đó giả thiết biến đổi thành:

\(\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=15x^4+12x\)

Nguyên hàm 2 vế:

\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\left(15x^4+12x\right)dx=3x^5+6x^2+C\)

Thay \(x=0\)

\(\Rightarrow f'\left(0\right).f\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right).f\left(x\right)=3x^5+6x^2+1\)

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế:

\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int\left(3x^5+6x^2+1\right)dx\) với chú ý \(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int f\left(x\right).d\left[f\left(x\right)\right]=\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)+C\)

Nên:

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+C\)

Thay \(x=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f^2\left(1\right)\)

Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)

Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.

Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được

So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)

Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)

So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:

\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)

Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:

\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)

Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)

Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng: 

\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)

Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:

Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)

\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)

a: f(-1/2)=17/4

f(5)=29

\(a,f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}+4=\dfrac{17}{4}\\ f\left(5\right)=25+4=29\\ b,f\left(x\right)=10=x^2+4\Leftrightarrow x^2=6\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{6}\\x=-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

a) Hệ số a là: a=1

\(f(0) = {0^2} - 4.0 + 3 = 3\)

\(f(1) = {1^2} - 4.1 + 3 = 0\)

\(f(2) = {2^2} - 4.2 + 3 =  - 1\)

\(f(3) = {3^2} - 4.3 + 3 = 0\)

\(f(4) = {4^2} - 4.4 + 3 = 3\)

=> f(0); f(4) cùng dấu với hệ số a; f(2) khác dấu với hệ số a

b) Nhìn vào đồ thị ta thấy

- Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đồ thị nằm phía trên trục hoành

- Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành

- Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành

c) - Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dầu với hệ số a

- Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành => f(x) <0, khác dấu với hệ số a

- Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục hoành => f(x)>0, cùng dấu với hệ số a

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} \). Ta có:

\(\begin{array}{l}h\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x} \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} } \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).