a: XétΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)

Do đó: ΔACE=ΔAKE

=>EC=EK

=>E nằm trên đường trung trực của CK(1)

Ta có: ΔACE=ΔAKE

=>AC=AK

=>A nằm trên đường trung trực của CK(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

=>AE\(\perp\)CK

b: Ta có: ΔCAB vuông tại C

=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>\(\widehat{CBA}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: AE là phân giác của góc CAB

=>\(\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔEAB có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

nên ΔEAB cân tại E

Ta có: ΔEAB cân tại E

mà EK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

=>KA=KB

c: Ta có: EB=EA

EA>AC(ΔAEC vuông tại C)

Do đó: EB>AC

d: Gọi giao điểm của BD và AC là H

Xét ΔHAB có

AD,BC là các đường cao

AD cắt BC tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔHAB

=>HE\(\perp\)AB

mà EK\(\perp\)AB

và HE,EK có điểm chung là E

nên H,E,K thẳng hàng

=>AC,BD,KE đồng quy tại H

Bài 2:

a: Xet ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED
=>BA=BE; DA=DE
=>DB là trung trực của AE
b: Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

góc ADF=góc EDC

=>ΔDAF=ΔDEC

=>DF=DC

c: AD=DE

mà DE<DC

nên AD<DC

d: Xét ΔBFC có BA/AF=BE/EC

nên AE//CF

a) xét hai tam giác vuông AEK và tam giác AKC

 có : AE chung góc KAE = góc CAE  ( AE phân giác góc BAC)

=>  tam giác vuông AEK = tam giác AKC

=> AK=AC ( hai cạnh tương ứng bằng nahu )

gọi CK giao với AE tại H 

ta xét tam giác AHK và tam giác AHC có 

 góc KAE = góc CAE  ( AE phân giác góc BAC)

AH chung 

AK=AC

=>  tam giác AHK = tam giác AHC

=> góc AHK = góc AHC mà góc AHK +góc AHC=180

=> góc AHK = góc AHC=90

=> AE_|_CK

b) xét tam giác vuông CHA có : A+H+C=180

=>góc HCA=180-90-30=60

mà góc ACK=60

=> tam giác  ACK cân tại K

=> CK = KA

tương tự ta cs : CK=HB

=> KA=KB (=CK)

a. xét tam giác ACE và tam giác AKE  có :

AE chung

góc C= góc K ( =90 độ)

A1=A2( gt)

=> tam giác ACE=tam giác AKE ( g.c.g)

=> AC=AK ( 2 cạnh tương ứng )

vì AC=AK => tam giác ACK cân tại a

trong 1 tam giác cân dq phân giác đồng thời là đường cao=> AE vuông góc với AK

b. vì AE là phân giác góc BAC 

=> A1=A2=góc BAC:2=60⁰ : 2= 30⁰ (1)

Xét tam giác ABC có : 

BAC+ABC+ACB=180⁰

60⁰+90⁰+ABC=180⁰

^=> ABC=180⁰-90⁰-60⁰=30⁰ (2)

Từ (1) và (2) => A1=ABC

xét tam giác ACE và tam giác BKE có :

ACE=BKE (=90⁰⁾

A1=ABC( CMT)

EC=EK ( theo a)

=> tam giác ACE= tam giác BKE ( g.c.g)

=> AC=KB ( 2 cạnh tương ứng)

mà AC=AK ( theo a)

=> KB=KA (đpcm)

c. vì A2=ABC ( theo b cùng =30⁰)

=> tam giác EAB cân tại E => AE=EB (1)

xét tam giác vuông ACE

vì AE  là cạnh huyền => AE>AC(2)

từ (1) và (2 ) => EB>AC (đpcm)

d. gọi O là giao điểm của AC và BD

xét tam giác AOB có 3 dq cao lần lượt là  AD,OK,BC

=> AD , OK ,BC giao nhau tại O => O,K,E thẳng hàng => AC,BD,KE đồng quy tại O ( đpcm )

Các bạn kẻ hình hộ mình vs nha :))

a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có 

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\))

Do đó: ΔACE=ΔAKE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AC=AK(hai cạnh tương ứng) và EC=EK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AC=AK(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: EC=EK(cmt)

nên E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

hay AE⊥CK(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)

nên \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EBA}=90^0-60^0=30^0\)(3)

Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)

nên \(\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)

nên ΔEBA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có 

EA=EB(ΔEBA cân tại E)

EK chung

DO đó: ΔEKA=ΔEKB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: KA=KB(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔEKB vuông tại K(gt)

nên EB là cạnh lớn nhất(EB là cạnh huyền)

hay EB>EK

mà EK=EC(cmt)

nên EB>EC(đpcm)