Question

cho tam giác ABC vuông tại C ; góc A = 60 độ tia phân giác góc BAC cắt BC tại E . Kẻ EK vuông góc với AB .   Kẻ BD vuông góc với AE. Chứng minh rằng :

a) AC = AK;    AE vuông góc với CK

b) KA=KB

c) EB > AC 

d) 3 đường thẳng Ac;BD;AE đồng quy

Answer 1

a) xét hai tam giác vuông AEK và tam giác AKC

 có : AE chung góc KAE = góc CAE  ( AE phân giác góc BAC)

=>  tam giác vuông AEK = tam giác AKC

=> AK=AC ( hai cạnh tương ứng bằng nahu )

gọi CK giao với AE tại H 

ta xét tam giác AHK và tam giác AHC có 

 góc KAE = góc CAE  ( AE phân giác góc BAC)

AH chung 

AK=AC

=>  tam giác AHK = tam giác AHC

=> góc AHK = góc AHC mà góc AHK +góc AHC=180

=> góc AHK = góc AHC=90

=> AE_|_CK

b) xét tam giác vuông CHA có : A+H+C=180

=>góc HCA=180-90-30=60

mà góc ACK=60

=> tam giác  ACK cân tại K

=> CK = KA

tương tự ta cs : CK=HB

=> KA=KB (=CK)

 

 

Answer 2

a. xét tam giác ACE và tam giác AKE  có :

AE chung

góc C= góc K ( =90 độ)

A1=A2( gt)

=> tam giác ACE=tam giác AKE ( g.c.g)

=> AC=AK ( 2 cạnh tương ứng )

vì AC=AK => tam giác ACK cân tại a

trong 1 tam giác cân dq phân giác đồng thời là đường cao=> AE vuông góc với AK

b. vì AE là phân giác góc BAC 

=> A1=A2=góc BAC:2=60⁰ : 2= 30⁰ (1)

Xét tam giác ABC có : 

BAC+ABC+ACB=180⁰

60⁰+90⁰+ABC=180⁰

^=> ABC=180⁰-90⁰-60⁰=30⁰ (2)

Từ (1) và (2) => A1=ABC

xét tam giác ACE và tam giác BKE có :

ACE=BKE (=90⁰⁾

A1=ABC( CMT)

EC=EK ( theo a)

=> tam giác ACE= tam giác BKE ( g.c.g)

=> AC=KB ( 2 cạnh tương ứng)

mà AC=AK ( theo a)

=> KB=KA (đpcm)

c. vì A2=ABC ( theo b cùng =30⁰)

=> tam giác EAB cân tại E => AE=EB (1)

xét tam giác vuông ACE

vì AE  là cạnh huyền => AE>AC(2)

từ (1) và (2 ) => EB>AC (đpcm)

d. gọi O là giao điểm của AC và BD

xét tam giác AOB có 3 dq cao lần lượt là  AD,OK,BC

=> AD , OK ,BC giao nhau tại O => O,K,E thẳng hàng => AC,BD,KE đồng quy tại O ( đpcm )

 

 

 

Answer 3

Các bạn kẻ hình hộ mình vs nha :))