Question

Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A=60 độ. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Hạ EK vuông góc với AB. Hạ BD vuông góc với AE. Chứng minh rằng:

a) AC=AK và AE vuông góc với CK.

b) KA=KB.

c) EB>EC

d) Ba đường thẳng AC, BD, KE đồng quy

( Không cần phải vẽ hình đâu nha, ai thích vẽ thì vẽ cho dễ làm.)

Answer 1

a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có 

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\))

Do đó: ΔACE=ΔAKE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AC=AK(hai cạnh tương ứng) và EC=EK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AC=AK(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: EC=EK(cmt)

nên E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

hay AE⊥CK(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)

nên \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EBA}=90^0-60^0=30^0\)(3)

Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)

nên \(\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)

nên ΔEBA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có 

EA=EB(ΔEBA cân tại E)

EK chung

DO đó: ΔEKA=ΔEKB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: KA=KB(hai cạnh tương ứng)

Answer 2

c) Ta có: ΔEKB vuông tại K(gt)

nên EB là cạnh lớn nhất(EB là cạnh huyền)

hay EB>EK

mà EK=EC(cmt)

nên EB>EC(đpcm)