Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA= 1, OB=2, OC=3
1, tính khoảng cách từ O tới mp ABC
2, gọi I là trung điểm AC, tính khoảng cách từ O đến BI
Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc, biết O A = a , O B = 2 a , O C = a 3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)
A. a 3 2
B. a 9
C. a 17 19
D. 2 a 3 19
Đáp án D
Gọi H là hình chiếu của O xuống (ABC)
Ta có: 1 O H 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 + 1 a 3 2 = 19 12 a 2 ⇒ O H = 2 a 3 19
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, biết OA =a, OB = 2a, OC = a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)
A. a 3 2
B. a 9
C. a 17 19
D. 2 a 3 19
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a,OB = a\sqrt 2 \) và \(OC = 2a\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\).
Ta có \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)
Trong (OBC) kẻ \(OD \bot BC\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right);BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {OAD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {OAD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AD\end{array}\)
Trong (OAD) kẻ \(OE \bot AD\)
\( \Rightarrow OE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OE\)
Xét tam giác OBC vuông tại O có
\(\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow OD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác OAD vuông tại O có
\(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{4{a^2}}} \Rightarrow OE = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)
Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)
Trong không gian cho góc tam diện vuông OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Cho OB =OC = 2a; OA = 3a. Điểm M thuộc cạnh AC sao cho AC = 3AM. Điếm N là trung điểm BC Tính khoảng cách từ B đến mp(OMN)
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, O A = a , O B = b , O C = c . Tính khoảng cách d từ O tới mặt phẳng (ABC).
A. d = a b c a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
B. d = a 2 + b 2 + c 2 3
C. d = a b + b c + c a a 2 + b 2 + c 2
D. d = a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
Đáp án A
Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) nên O H ⊥ A B C ⇒ O H ⊥ B C 1 .
Mặt khác O A ⊥ O B , O A ⊥ O C ⇒ O A ⊥ O B C ⇒ O A ⊥ B C 2 .
Từ (1),(2) suy ra B C ⊥ A O H ⇒ B C ⊥ A H . Chứng minh tương tự ta được A B ⊥ C H . Suy ra H là trực tâm của ΔABC.
Trong mặt phẳng (ABC) gọi E là giao điểm của AH và BC.
Ta có O H ⊥ A B C ⇒ O H ⊥ A E tại H.
O A ⊥ A B C ⇒ O A ⊥ O E tức là OH là đường cao của tam giác vuông OAE.
Mặt khác OE là đường cao của tam giác vuông OBC.
Do đó: 1 O H 2 = 1 O A 2 + 1 O E 2 = 1 O A 2 + 1 O B 2 + 1 O C 2 .
⇔ 1 d 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ⇒ d = a b c b 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 .
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OC = 2a, OA = OB = a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC
A. 2 a 3 .
B. 2 5 a 5 .
C. 2 a 3 .
D. 2 a 2 .
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, OD đôi một vuông góc nhau, biết rằng OA = 2OB=3OC =3a. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (ABC).
A. d = 2 a 14
B. d = 3 a 13
C. d = 3 a 11
D. d = 3 a 10
Đáp án A
Gọi I là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AI.
Suy ra d = OH
OA = 2OB=3OC =3a
Tính được
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, OD đôi một vuông góc nhau, biết rằng O A = 2 O B = 3 O C = 3 a . Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (ABC).
A. d = 2 a 14
B. d = 3 a 13
C. d = 3 a 11
D. d = 3 a 10
Đáp án A
Gọi I là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AI.
Suy ra d = OH.
cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. gọi I là trung điểm BC; H,K lần lượt là hình chiếu của O lên AB,AC.
1. Chứng minh:BC vuông góc (OAI), (OAI) vuông góc (OHK)
2. Tính d(O,(ABC))
3.Tính cosin (OA,(OHK))
4.Tính tan((OBC),(ABC))
5.Tìm đường vuông góc chung của HK,OI. tính khoảng cách giữa hai đường ấy