\(=\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\) nha ! 

P/S:Ko có mục đích xấu,đăng lên cho bạn thôi.

Giỏi quá à :3

Trả lời

Ở phần kết quả bạn vẫn chưa thu gọn hết đâu nha

\(=\left(a+b+c\right).\left(a-b\right)^2\)

Mk góp ý thôi mong mọi người đừng có đáp gạch đáp đá nha 

Study well 

Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)

\(\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{8a+6}{\left(a-1\right)^2+2}\right)\le\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{8a+6}{2}\right)\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\le\dfrac{1}{3}\left(3+\dfrac{8\left(a+b+c\right)+18}{2}\right)=8\) (đpcm)

Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 1

Khi đó, ta cần chứng minh: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\le8\)

Xét bất đẳng thức phụ: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\le4x+\frac{4}{3}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2\left(4x+1\right)}{2x^2+\left(1-x\right)^2}\ge0\)*đúng*

Áp dụng, ta được: \(\frac{\left(a+1\right)^2}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+\frac{\left(b+1\right)^2}{2b^2+\left(1-b\right)^2}+\frac{\left(c+1\right)^2}{2c^2+\left(1-c\right)^2}\)\(\le4\left(a+b+c\right)+4=4.1+4=8\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Chuẩn hóa ta có : \(a+b+c=3\)

=> \(\frac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(a+3\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}=\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\)

Xét\(\frac{a^2+6a+9}{3\left(a^2-2a+3\right)}\le\frac{4}{3}a+\frac{4}{3}\)

<=> \(a^2+6a+9\le4\left(a+1\right)\left(a^2-2a+3\right)\)

<=> \(4a^3-5a^2-2a+3\ge0\)

<=> \(\left(a-1\right)^2\left(4a+3\right)\ge0\)luôn đúng

Khi đó 

\(VT\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)+4=\frac{4}{3}.3+4=8\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

bài lớp 10 em chưa hok nha anh

Nhức nhối mãi bài này vì nó làm lag hết máy

Giải

Đặt \(x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}\)

Ta phải chứng minh \(Σ\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\le8\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{2x+1}{x^2+2}\le\dfrac{5}{2}\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Lại theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(Σ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6}\)

Ta còn phải chứng minh

\(2\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-6x-6y-6z+9\right)\)\(\ge x^2+y^2+z^2+6\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4\left(xy+yz+xz\right)-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)

Bây giờ có \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge12\left(xyz\ge8\right)\)

Còn phải chứng minh \(\left(x+y+z\right)^2+24-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Bởi vì BĐT là thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa \(a+b+c=3\). Khi đó

\(\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}=\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2+\left(a-1\right)^2}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2}\right)=\dfrac{4a+4}{3}\)

Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{\left(2b+c+a\right)^2}{2b^2+\left(a+c\right)^2}\ge\dfrac{4b+4}{3};\dfrac{\left(2c+b+a\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4c+4}{3}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(Σ\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\geΣ\left(4a+4\right)=8\)

Câu hỏi của Neet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến:Gazeta Matematia

còn câu này là USAMO 2003

Toàn đề máu mặt :)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)

\(=[a(a+b+c)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bao nhiêu công gõ bài xong rồi đi chơi, chơi về định gửi bài, chơi về bật máy lên gửi thì lỗi, may vãi

Ta có:

\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\)

\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(2+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

Cần chứng minh \(\dfrac{1}{9}\left(2+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\le\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{bc+2a^2}+\dfrac{ca}{ca+2b^2}+\dfrac{ab}{ab+2c^2}\ge1\)

Cauchy-Schwarz: \(VT=\dfrac{bc}{bc+2a^2}+\dfrac{ca}{ca+2b^2}+\dfrac{ab}{ab+2c^2}\)

\(=\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{c^2a^2}{c^2a^2+2ab^2c}+\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2+2abc^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\) * Đúng*

Happy New Year (Lunar)

Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp

Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)

\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Ta thực hiện phép đổi biến thì:

\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)

Đến đây là phần của bạn

(Vào thống kê hỏi đáp xem ảnh nhé! 2 cách, cách đầu dùng kỹ thuật uvw, cách kia là SOS)

:( Đại Ka ơi a up câu nào khó hơn đi :( :v

Solution:

Vế trái có tính thuần nhất theo 3 biến nên ta chuẩn hóa a+b+c=3.

Điểm rơi: a=b=c=1.

Khi đó:

\(A=Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{2a^2+\left(3-a\right)^2}\)(em ko biết kí hiệu tổng sigma ạ :v)

\(3A\Rightarrow Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\)

UCT :v 

Ta cần tìm m và n sao cho

\(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le ma+n\) (Luôn đúng với 0<a<3)

Với điểm rơi a=1 ta có m+n=8 => n=8-m.

Ta tìm m sao cho: \(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le m\left(a-1\right)+8\) (luôn đúng với 0<a<3).

Đến đây giải ra ta tìm được m=4 và n=4

Ta dễ dàng cm được: \(\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le4\left(a+1\right)\)(với o<a<3) ( cái này chứng minh tương đg) :v

Suy ra \(3A=Sigma\frac{\left(3+a\right)^2}{a^2-2a+3}\le4\left(a+b+c\right)=24\)

=> a<=8

Max A=8 <=> a=b=c=1 

UCT => ez nha anh :) 

Dạo này đại ka lại có hứng up bđt luôn :3 phê

M hơi ghê rồi đó con :v sang fb t sent bài cho :(