Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minh Hoàng Nguyễn

Cho a, b, c > 0 . CMR:

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{a^3}{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}+\frac{b^3}{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}+\frac{c^3}{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2\right)}\)

Akai Haruma
30 tháng 5 2020 lúc 12:35

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)

\(=[a(a+b+c)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


Các câu hỏi tương tự
Eren
Xem chi tiết
Trân Nari
Xem chi tiết
junghyeri
Xem chi tiết
Hiệp Đỗ Phú
Xem chi tiết
Trần Vi Vi
Xem chi tiết
vũ quỳnh trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Lê Thu Trang
Xem chi tiết
Hồ Thị Quỳnh Hương
Xem chi tiết