Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
kookie kookie

cmr với mọi số thực a, b, c dươngta đều có bđt

\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\dfrac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\dfrac{a^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\)<=3

Lightning Farron
16 tháng 2 2018 lúc 0:37

Bao nhiêu công gõ bài xong rồi đi chơi, chơi về định gửi bài, chơi về bật máy lên gửi thì lỗi, may vãi

Lightning Farron
16 tháng 2 2018 lúc 0:42

Ta có:

\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\)

\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(2+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

Cần chứng minh \(\dfrac{1}{9}\left(2+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\le\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{bc+2a^2}+\dfrac{ca}{ca+2b^2}+\dfrac{ab}{ab+2c^2}\ge1\)

Cauchy-Schwarz: \(VT=\dfrac{bc}{bc+2a^2}+\dfrac{ca}{ca+2b^2}+\dfrac{ab}{ab+2c^2}\)

\(=\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{c^2a^2}{c^2a^2+2ab^2c}+\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2+2abc^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\) * Đúng*

Happy New Year (Lunar)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết
Cold Wind
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Nguyễn Trần
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết