Gọi G là điểm sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (G là trọng tâm của tam giác ABC)

Khi đó \(G\left(2;4;3\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}\)

Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) mà \(\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|\) bé nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P). Khi đó vecto \(\overrightarrow{GD}\) cùng phương với vecto pháp tuyến của (P) và điểm D nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ :

\(\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-3}{1}\\x+y+z-3=0\end{cases}\)

Giải hệ ta được : x = 0 ;y = 2; z = 1

Vậy điểm D cần tìm là \(D\left(0;2;1\right)\)

Để tính cos(Δ1;Δ2), ta cần tìm vector chỉ phương của hai đường thẳng Δ1 và Δ2.

Vector chỉ phương của đường thẳng d là (1, t, 2) và vector chỉ phương của đường thẳng d' là (-1, 1, -2).

Để tìm vector chỉ phương của mặt phẳng (P), ta lấy vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, 1, -1).

Để hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với mặt phẳng (P), ta có điều kiện là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 cũng phải song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì vậy, ta cần tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 sao cho chúng song song với vector (1, 1, -1).

Ta có thể tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 bằng cách lấy tích vector của vector chỉ phương của d hoặc d' với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Tính tích vector của (1, t, 2) và (1, 1, -1): (1, t, 2) x (1, 1, -1) = (t-3, 3t+1, -t-1)

Tính tích vector của (-1, 1, -2) và (1, 1, -1): (-1, 1, -2) x (1, 1, -1) = (-1, -3, -2)

Hai vector trên là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2. Để tính cos(Δ1;Δ2), ta sử dụng công thức:

cos(Δ1;Δ2) = (Δ1.Δ2) / (|Δ1|.|Δ2|)

Trong đó, Δ1.Δ2 là tích vô hướng của hai vector chỉ phương, |Δ1| và |Δ2| là độ dài của hai vector chỉ phương.

Tính tích vô hướng Δ1.Δ2: (t-3)(-1) + (3t+1)(-3) + (-t-1)(-2) = -t-3

Tính độ dài của Δ1: |Δ1| = √[(t-3)² + (3t+1)² + (-t-1)²] = √[11t² + 2t + 11]

Tính độ dài của Δ2: |Δ2| = √[(-1)² + (-3)² + (-2)²] = √[14]

Vậy, cos(Δ1;Δ2) = (-t-3) / (√[11t² + 2t + 11] * √[14])

Để tính giá trị của cos(Δ1;Δ2), ta cần biết giá trị của t. Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp giá trị cụ thể của t nên không thể tính được giá trị chính xác của cos(Δ1;Δ2).

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(I\left(2;0;2\right)\) với mọi điểm M đều có :

\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}\)

                       \(=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2\)

                       \(=2MI^2+\left(IA^2+IB^2\right)=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)

Do đó \(M\in\left(P\right)\) sao cho \(MA^2+MB^2\) bé nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y+z-6=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{1}\end{cases}\)

Giải hệ thu được :

\(x=\frac{8}{3};y=\frac{2}{3};z=\frac{8}{3}\)

Vậy điểm M cần tìm là \(M\left(\frac{8}{3};\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right)\)

a.

Chọn \(C\left(1;1;1\right)\) là 1 điểm thuộc denta

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;4\right)\)

Đường thẳng denta có \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left(2;-1;1\right)\) là 1 vtcp

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AC};\overrightarrow{u_{\Delta}}\right]=\left(3;8;2\right)\)

\(\Rightarrow\left(Q\right)\) nhận \(\left(3;8;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(3\left(x-1\right)+8\left(y-2\right)+2\left(y+3\right)=0\)

b.

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;1\right)\) là 1 vtpt

Ta có: \(\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(-2;-1;3\right)\)

Mặt phẳng (Q) nhận (2;1;-3) là 1 vtpt

Phương trình (Q):

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)-3\left(z+3\right)=0\)

c.

Gọi M là giao điểm denta và (P) thì tọa độ M thỏa:

\(-1+2t+2-t+t-3=0\Rightarrow t=1\)

\(\Rightarrow M\left(1;1;1\right)\)

\(\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_{\Delta}}\right]=\left(2;1;-3\right)\)

Đường thẳng d nhận (2;1;-3) là 1 vtcp

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+t\\z=1-3t\end{matrix}\right.\)

d.

Do M thuộc denta nên tọa độ có dạng: \(M\left(-1+2t;2-t;t\right)\)

M là trung điểm AN \(\Rightarrow N\left(-3+4t;2-2t;2t+3\right)\)

N thuộc (P) nên: \(-3+4t+2-2t+2t+3-3=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(-2+2t;-t;t+3\right)=\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4};\dfrac{13}{4}\right)=-\dfrac{1}{4}\left(6;1;13\right)\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+6t\\y=2+t\\z=-3+13t\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\overrightarrow{n}_{\beta}=\left(1;3k;-1\right);\overrightarrow{n}_{\gamma}=\left(k;-1;1\right)\)

Gọi \(d_k=\beta\cap\gamma\)