Gọi d là ƯCLN(7n+4;5n+3)

Ta có:7n+4\(⋮\)d;5n+3\(⋮\)d

=>5*(7n+4)\(⋮\)d;7*(5n+3)\(⋮\)d

=>35n+20\(⋮\)d;35n+21\(⋮\)d

=>[(35n+21)-(35n+20)]\(⋮\)d

=>[35n+21-35n-20]\(⋮\)d

=>1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(7n+4;5n+3)=1 nên phân số \(\frac{7n+4}{5n+3}\) luôn luôn tối giản(nEN)

Gọi d là UCLN (7n+4;5n+3)

=>*\(\left(7n+4\right)⋮d\Rightarrow5.\left(7n+4\right)⋮d\)

     *\(\left(5n+3\right)⋮d\Rightarrow7.\left(5n+3\right)⋮d\)

Suy ra: 5.(7n+4)-7.(5n+3) chia hết cho d

=>35n+20-35n-21 chia hết cho d

=>-1 chia hết cho d

=> d chỉ có thể là 1 

=> P/s \(\frac{7n+4}{5n+3}\) tối giản

gọi a là ƯC LN(7n+4;5n+3)

ta có

7n+4\(⋮\)a\(\Rightarrow\)35n+20\(⋮\)a

5n+3\(⋮\)a\(\Rightarrow\)35n+21\(⋮\)a

\(\Rightarrow\)(35n+21)-(35n+20)\(⋮\)a

=1\(⋮\)a\(\Rightarrow\)a=1

Vậy với mọi số tự nhiên n thì phân số \(\frac{7n+4}{5n+3}\)luôn tối giản

Gọi ƯCLN(3n + 2, 5n + 3) = d (d thuộc N*)

Ta có:

3n + 2 chia hết cho d

5n + 3 chia hết cho d

<=> 5(3n + 2) chia hết cho d = (15n + 10) chia hết cho d

<=> 3(5n +3) chia hết cho d = (15n + 9) chia hết cho d

=> (15n + 10) - (15n + 9) chia hết cho d = 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy Phân số $\frac{3n+2}{5n+3}$ là phân số tối giản.

tự làm nha thấy đúng cho mik một like

Gọi \(d=ƯC\left(6n+7;3n+2\right)\) với \(d\ge1;d\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+7⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow6n+7-2\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=3\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}6n+7=3\left(2n+2\right)+1⋮̸3\\3n+2⋮̸3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\ne3\)

\(\Rightarrow d=1\Rightarrow6n+7\) và \(3n+2\) nguyên tố cùng nhau

Hay \(\dfrac{6n+7}{3n+2}\) tối giản với mọi n tự nhiên

Gọi d là ƯC(6n+7;3n+2) với d≠0;d ≥1(d∈N)

⇒ 6n+7 ⋮ d

     3n+2 ⋮ d

⇒6n+7 - 2(3n+2)⋮ d

⇒3⋮d

d∈(1;3)

Vậy 6n+7/3n+2 là phân số tối giản vì là nguyên tố cùng nha

Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*) 

\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)

Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)

\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)

Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mà 2n+3 là số lẻ nên

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

Giả sử ƯCLN(n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1) = d 

Ta có: \(\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

Do \(n^3+2n⋮d\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮3\)

Vậy thì \(n^4+3n^2+1-n^4-2n^2=n^2+1⋮d\)            (1)

Lại có \(n^3+2n=n\left(n^2+1\right)+n⋮d\) nên \(n⋮d\Rightarrow n^2⋮d\)             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy thì  ƯCLN(n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1) = 1 hay phân số \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản.

a: Gọi d=ƯCLN(15n+1;30n+1)

=>30n+2-30n-1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>Đây là phân số tối giản

b: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)

=>15n+10-15n-9 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>Phân số tối giản

Gọi d là ƯCLN(n+3;3n+8)

Ta có n+3\(⋮\)d=>3*(n+3)\(⋮\)d=>3n+9\(⋮\)d

 Ta có 3n+8\(⋮\)d

=>[(3n+9)-(3n+8)]\(⋮\)d

=>[3n+9-3n-8]\(⋮\)d

=>1\(⋮\)d

=>d=1

Vì ƯCLN(n+3;3n+8)=1 nên phân số \(\frac{n+3}{3n+8}\) luôn tối giản(nEN)

Gọi d là ƯCLN(n+3;3n+8)

Ta có:n+3\(⋮\)d

          3n+8\(⋮\)d\(\Rightarrow\)3(n+4)\(⋮\)d\(\Rightarrow\)n+4\(⋮\)d\(\Rightarrow\)n+2\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)[n+3-n-2]\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1\(⋮\)d

         Vậy ƯCLN(n+3;3n+8)là 1 nên phân số \(\frac{n+3}{3n+8}\) tối giản(n\(\in\)N)

Gọi Ư( n+1; 2 n+3 ) = d ( N* )

n +1 = 2n + 2 (1) ; 2n+3*)   (2)

Lấy (2 ) - (1) ta được : 2n + 3 - 2n + 2 = 1:d => d =1

vậy ta có đpcm 

gọi Ư ( 3n + 2 ; 5n + 3 ) = d ( N* )

3n +2 = 15 n + 10 (1)  ; 5n + 3 =15n + 9 (2)

lấy (!) - (2)  ta được  15n + 10 - 15n - 9 = 1:d => d = 1

Vậy ta có đpcm 

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN (5n+3, 3n+2)$

Khi đó:

$5n+3\vdots d$ và $3n+2\vdots d$

$\Rightarrow 5(3n+2)-3(5n+3)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$
Vậy $(5n+3, 3n+2)=1$

$\Rightarrow \frac{5n+3}{3n+2}$ là phân số tối giản.