Đường tròn tâm \(I\left(3;-1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2-6}=2\)

a/ \(\overrightarrow{AI}=\left(2;-3\right)\Rightarrow AI=\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{13}>2\)

\(\Rightarrow\) A nằm ngoài đường tròn

b/ Gọi tiếp tuyến d qua A có dạng:

\(a\left(x-1\right)+b\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow ax+by-a-2b=0\) (\(a^2+b^2\ne0\))

d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3a-b-a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\Leftrightarrow\left|2a-3b\right|=\sqrt{4a^2+4b^2}\)

\(\Leftrightarrow4a^2+9b^2-12ab=4a^2+4b^2\)

\(\Leftrightarrow5b^2-12ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\5b=12a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(1;0\right)\\\left(5;12\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\5\left(x-1\right)+12\left(y-2\right)=0\end{matrix}\right.\)

c/ \(AT_1=\sqrt{IA^2-R^2}=3\) \(\Rightarrow S_{AT_1IT_2}=AT_1.R=6\)

Gọi H là trung điểm \(T_1T_2\Rightarrow\frac{1}{HT_1^2}=\frac{1}{AT_1^2}+\frac{1}{R^2}\Rightarrow HT_1=\frac{6\sqrt{13}}{13}\)

\(\Rightarrow IH=\sqrt{R^2-HT_1^2}=\frac{4\sqrt{13}}{13}\)

\(\Rightarrow S_{IT_1T_2}=2S_{IHT_1}=IH.HT_1=\frac{24}{13}\)

\(\Rightarrow S_{AT_1T_2}=6-\frac{24}{13}=\frac{54}{13}\)

\(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2x+4}}\left(x^2-2x+4\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2x+4}}.\left(2x-2\right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+4}}\)

\(x_0=2\Rightarrow y_0=2\Rightarrow y'\left(2\right)=\dfrac{2-1}{\sqrt{2^2-2.2+4}}=\dfrac{1}{2}\)

\(y=\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)+2\)

x_o = 2 → y_o = 2 

y^' = \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+4}}\) → y^'(2) = \(\dfrac{1}{2}\)

phương trình tiếp tuyến có dạng: 

y = \(\dfrac{1}{2}\)x +1

Cho tam giác ABC đều
D thuộc AB , E thuộc AC sao cho BD = AE
CM : Khi D,E thay đổi ( di chuyển ) trên AB,AC thì đường trung tuyến DE luôn đi qua điểm cố định
Help me !!!

a.

\(y'=6x^2-6=0\Rightarrow x=\pm1\)

\(x=-1\) là điểm cực đại của hàm số

\(x=1\) là điểm cực tiểu của hàm số

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\)

b. Gọi A là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow A\left(0;-3\right)\)

\(f'\left(0\right)=-6\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=-6\left(x-0\right)-3\Leftrightarrow y=-6x-3\)

Đường tròn đã cho có tâm \(I\left(1;-2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(4;0\right)=4\left(1;0\right)\)

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left(5;-2\right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;0\right)\) làm VTPT.

PT tiếp tuyến: \(1\left(x-5\right)+0\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x-5=0\)

\(y'=\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}\)

a.

 \(\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=5\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-2\\x=-2\Rightarrow y=8\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=5x-2\\y=5\left(x+2\right)+8\end{matrix}\right.\)

b.

Gọi đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-2\right)\)

d là tiếp tuyến của (C) khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x-2}{x+1}=k\left(x-2\right)\\\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=k\end{matrix}\right.\) có nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{5\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(x+1\right)=5\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2-4x+8=0\) (vô nghiệm)

Không tồn tại tiếp tuyến thỏa mãn

c.

\(5x+y+1=0\Leftrightarrow y=-5x-1\)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho nên có hệ số góc thỏa mãn:

\(k.\left(-5\right)=-1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=25\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\Rightarrow y=2\\x=-6\Rightarrow y=4\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{5}\left(x-4\right)+2\\y=\dfrac{1}{5}\left(x+6\right)+4\end{matrix}\right.\)

d.

Tiếp tuyến chắn trên 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc 45 độ

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến có hệ số góc 1 hoặc -1

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=-1\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1+\sqrt{5}\Rightarrow y=3-\sqrt{5}\\x=-1-\sqrt{5}\Rightarrow y=3+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=1\left(x+1-\sqrt{5}\right)+3-\sqrt{5}\\y=1\left(x+1+\sqrt{5}\right)+3+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Đường tròn tâm \(I\left(2;-2\right)\) bán kính \(R=2\)

Tiếp tuyến d vuông góc trục hoành nên pt có dạng: \(x+a=0\)

d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|2+a\right|}{1}=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-4\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\)