\(y'=\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}\)
a.
\(\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=5\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=-2\\x=-2\Rightarrow y=8\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=5x-2\\y=5\left(x+2\right)+8\end{matrix}\right.\)
b.
Gọi đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-2\right)\)
d là tiếp tuyến của (C) khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x-2}{x+1}=k\left(x-2\right)\\\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=k\end{matrix}\right.\) có nghiệm
\(\Rightarrow\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{5\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(x+1\right)=5\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2-4x+8=0\) (vô nghiệm)
Không tồn tại tiếp tuyến thỏa mãn
c.
\(5x+y+1=0\Leftrightarrow y=-5x-1\)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho nên có hệ số góc thỏa mãn:
\(k.\left(-5\right)=-1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=25\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\Rightarrow y=2\\x=-6\Rightarrow y=4\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{5}\left(x-4\right)+2\\y=\dfrac{1}{5}\left(x+6\right)+4\end{matrix}\right.\)
d.
Tiếp tuyến chắn trên 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân
\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc 45 độ
\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến có hệ số góc 1 hoặc -1
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=-1\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{5}{\left(x+1\right)^2}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1+\sqrt{5}\Rightarrow y=3-\sqrt{5}\\x=-1-\sqrt{5}\Rightarrow y=3+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:
\(\left[{}\begin{matrix}y=1\left(x+1-\sqrt{5}\right)+3-\sqrt{5}\\y=1\left(x+1+\sqrt{5}\right)+3+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
