Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(C_m\right)\) và đường thẳng y = -1 là :

\(x^4-\left(3m+2\right)x^2+3m=-1\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-3m-1\right)=0\)

Đường thẳng y = -1 cắt  \(\left(C_m\right)\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi :

\(0 < 3m+1 < 4\) và \(3m+1\ne1\)

\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{3}< m\)< 1 và \(m\ne0\)

Phương trình có hoành độ giao điểm \(\frac{-x+m}{x+2}=-x+\frac{1}{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-2\\2x^2+x+2m-2=0\left(1\right)\end{cases}\)

Đường thẳng (d) cắt \(\left(C_m\right)\) tại 2 điểm A, B <=> (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x\ne-2\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1-8\left(2m-2\right)>0\\2\left(-2\right)^2+\left(-2\right)+2m-2\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}17-16m>0\\m\ne-2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m<\frac{17}{16}\\m\ne-2\end{cases}\)

\(A\left(x_1;-x_1+\frac{1}{2}\right);B\left(x_2;-x_2+\frac{1}{2}\right);\) trong đó x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1)

Theo Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{1}{2}\\x_1x_2=m-1\end{cases}\)

\(AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]}=\frac{\sqrt{2\left(17-16m\right)}}{2}\)

\(d\left(O,d\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}};S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}AB.d\left(O,d\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2\left(17-16m\right)}}{2}=1\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{-47}{16}\)

Vậy \(m=\frac{-47}{16}\)

Khoảng cách từ O đến d tính ntn v bn? @Hoàng Thị Tâm

a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :

\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)

Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)

Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) được viết thành :

    \(\left(x+1\right)\left(x^2-3mx+2m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\left(x-2m\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm của  \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\)  gồm \(A\left(-1;-m-m^2\right);B\left(m;0\right)\) và \(C\left(2m;m^2\right)\), trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi)

Đặt \(f_m\left(x\right)=x^3-\left(3m-1\right)x^2+2m\left(m-1\right)x+m^2\)

Các tiếp tuyến của  \(\left(C_m\right)\)  tại B và C lần lượt là các đường thẳng :

\(\left(\Delta_B\right):y=f_m'\left(x_B\right)x+y_b-f_m'\left(x_B\right)x_B\)

\(\left(\Delta_C\right):y=f_m'\left(x_C\right)x+y_C-f_m'\left(x_C\right)x_C\)

Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và \(\Delta_B\backslash\backslash\Delta_C\), tức là :

\(\begin{cases}x_B\ne x_A\\x_C\ne x_A\\f'_m\left(x_B\right)=f'_m\left(x_C\right)\\y_B-f'_m\left(x_B\right)x_B\ne y_C-f'_m\left(x_C\right)x_C\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m\ne-\frac{1}{2}\\-m^2=2m^2+2m\\m^3\ne-4m^3-3m^2\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}\)

a, \(\left(Cm\right)\) có tâm I(m;-2m)luôn thuộc đường thẳng (d) 2x+y=0 và có bán kính R=1

Vậy \(\left(Cm\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định, đó là tiếp tuyến của\(\left(Cm\right)\) song song với (d)

b,\(0< |m|< \dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

Ta có \(y'=4x^3-16x\)

Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6;y'\left(x_0\right)=-12\)

Phương trình tiếp tuyến d của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :

\(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)

Phương trình hoành độ giao điểm của  \(\left(C_m\right)\) với d :

\(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\Leftrightarrow x=1,x=-1\pm\sqrt{6}\)

Vậy d và  \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhay tại 3 điểm 

\(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\ne\sqrt{6}\right)\)

Tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1, có dạng :

\(y=\left(m+1\right)x+\frac{m}{2}+1\)

D song song với đường thẳng y = 5x\(\Leftrightarrow\begin{cases}m+1=5\\\frac{m}{2}+1\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=4\)

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm

Chọn B

Chọn A B C D gì đó cx đc chọn đại đi

Tập xác định \(D=R\backslash\left\{2-m\right\}\)

Ta có : \(y'=\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}\)

a) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng :

\(y=x+1\) khi \(y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}=-1\Leftrightarrow m=0;m=2\)

* Với m = 0 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-1\right)-1=-x\)

* Với m = 2 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-2\right)+3=-x+5\)

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

b) G\(m\ge1+\sqrt{2};m\le1-\sqrt{2}\)ọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm. Ta có \(y'\left(x_0\right)=-\frac{1}{2}\)

\(\frac{m^2-2m-1}{\left(x_0+m-2\right)^2}=-\frac{1}{2}\) (*)

Yêu cầu bài toán suy ra (*) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi :

\(m^2-2m-1\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m\ge1+\sqrt{2}\\m\le1-\sqrt{2}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m\le1-\sqrt{2};m\ge1+\sqrt{2}\)