a: Xét tứ giác ABEC có

M là trung điểm chung của AE và BC

nên ABEC là hình bình hành

b: ABEC là hình bình hành

=>AC//BE và AC=BE

AC=BE

AC=AD

Do đó: BE=AD

AC//BE

=>BE//AD

Xét tứ giác ADBE có

AD//BE

AD=BE

Do đó: ADBE là hình bình hành

c: ADBE là hình bình hành

=>AB cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>N là trung điểm chung của AB và DE

=>NA=NB

d: Xét ΔBAC có BM/BC=BN/BA

nên MN//AC

MN//AC

AC\(\perp\)AB

Do đó: MN\(\perp AB\)

Bài 3: 

a: Xét tứ giác AECF có 

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

Xét tứ giác AEFD có 

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

mà AE=AD

nên AEFD là hình thoi

b: Xét tứ giác BEFC có 

BE//CF

BE=CF

Do đó: BEFC là hình bình hành

mà BE=BC

nên BEFC là hình thoi

Xét ΔEDC có 

EF là đường trung tuyến

EF=DC/2

Do đó: ΔEDC vuông tại E

Xét tứ giác EMFN có

\(\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=\widehat{MEN}=90^0\)

Do đó: EMFN là hình chữ nhật

c: Để EMFN là hình chữ nhật thì EM=FN

=>ED=AF

=>AEFD là hình vuông

=>\(\widehat{BAD}=90^0\)

Điểm F có lẽ hơi thừa đấy.

Bạn c/m K là trực tâm của tam giác AEC \(\Rightarrow AK\perp EC\Rightarrow AI\perp EC\Rightarrow\widehat{AIC}=90^0\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm của AC và BD và AC = BD

Tam giác AIC vuông tại I có IO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow IO=\frac{1}{2}AC\Rightarrow IO=\frac{1}{2}BD\)

Tam giác BID có IO là trung tuyến và \(IO=\frac{1}{2}BD\Rightarrow\Delta BID\)vuông tại I

\(\Rightarrow S_{BID}=\frac{1}{2}.BI.ID\)(1)

Chứng minh được BDEC là hình bình hành nên \(BD//CE\)

Mà \(AI\perp CE\left(cmt\right)\Rightarrow IM\perp BD\)

Tam giác BID có đường cao IM \(\Rightarrow S_{BID}=\frac{1}{2}IM.BD\) (2)

Từ (1) và (2) có: \(IM.BD=DI.BI\)

Đề sai rồi bạn

  a) Do H và E đối xứng qua M (gt)

⇒ M là trung điểm HE

Tứ giác AHBE có:

M là trung điểm AB (gt)

M là trung điểm HE (cmt)

⇒ AHBE là hình bình hành

Lại có:

∠AHB = 90⁰ (AH ⊥ BC)

⇒ AHBE là hình chữ nhật

b) Do F và H đối xứng qua N

⇒ N là trung điểm của HF

Tứ giác AHCF có:

N là trung điểm AC (gt)

N là trung điểm HF (cmt)

⇒ AHCF là hình bình hành

⇒ AH = CF và AH // CF (1)

Do AHBE là hình chữ nhật (cmt)

⇒ AH // BE và AH = BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

CF // BE và CF = BE