Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC và BC. Chứng minh:
a) 4 điểm M, N, P, Q thẳng hàng
b) \(NP=\frac{1}{2}\left(CD-AB\right)\)
c) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để MN = NP = PQ
cho hình thang ABCD (AB//CD) DC> AB. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AD, BD, AC, BC. Chứng minh:
a) M,N,P,Q thẳng hàng
b) NP= (1/2).(DC-AB)
a,Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AM=MD\\BQ=QC\end{matrix}\right.\) nên MQ là đtb hình thang ABCD \(\Rightarrow MQ//AB\left(1\right)\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AM=MD\\DN=NB\end{matrix}\right.;\left\{{}\begin{matrix}BQ=QC\\AP=PC\end{matrix}\right.\) nên MN,PQ lần lượt là đtb các tam giác ABD,ABC
\(\Rightarrow MN//AB\left(2\right);PQ//AB\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow MN;MQ;PQ\) trùng nhau hay M,N,P,Q thẳng hàng
b,Ta có \(NP=MQ-MN-PQ\)
\(\Rightarrow NP=\dfrac{AB+CD}{2}-\dfrac{AB}{2}-\dfrac{AB}{2}\left(t/c.đường.trung.bình\right)\\ \Rightarrow NP=\dfrac{CD-AB}{2}\)
cho hình thang cân abcd (ab//cd , ab<cd )gọi m,n,p,q lần lượt là trung điểm cấc đoạn ad , bd , ac ,bc chứng minh.
a) m,n,p,q thẳng hàng
b) chứng minh abpn là hình thang cân
c) tìm một hệ thức liên kết giữa ab và cd để abpn là hình chữ nhật
a,mn là đường tb của tam giác dba =>mn//ab (1)
CMTT ta được np//ab ; mp//dc ; pq//ab ;qn//dc (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm m,n,q,p cung nằm trên 1 đường thẳng ( cùng song song với đg thẳng ab và dc)
b, CM cho AP =BN là xong (2 đường chéo bằng nhau và có np//ab)
c,Cần thêm ĐK: NP=AB suy ra DC= 3AB
Bài 1 cho hình thang ABCD (AB//CD), Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD; BC; BD
a)Chứng minh M, N, P thẳng hàng
b)gọi K là giao điểm của AC và MN. Chứng minh K là trung điểm AC
c) chứng minh PK = (CD-AB):2
a) Xét tg DAB có AM=MD (gt)
DP=PB(gt)
=> MP là dg tb tg DAB => MP //AB (1)
Xét tg BDC có BN=NC(gt)
DO=PB(gt)
=> PN là dg tb tg DBC=> PN//DC. Mà DC//AB ( hthang ABCD)
=> PN//AB. (2)
Từ (1) và (2) => M,N,P thẳng hàng
b) Xét tg ABC có BN=NC(gt)
NK//AB( MN//AB)
=> K td AC
C) xét tg ABCD có AM=MD(gt)
BN=NC(gt)
=> MN là dg tb tg ABCD => MN=(AB+CD)/2 (1)
ta có MP là dg tb tg ABD(cmt)=> MP=1/2AB=AB/2 (2)
Ta có NK là dg tb tg ABC(cmt) =>NK=1/2AB=AB/2. (3)
Mà ta có MN= MP+PK+NK (4)
Từ (1)(2)(3)(4) suy ra
(AB+CD)/2 = AB/2+AB/2+PK
<=> (AB+CD-AB-AB)/2=PK
<=>(-AB+CD)/2=PK
=> (CD-AB):2=PK
a: Xét ΔDAB có
M là trung điểm của AD
P là trung điểm của BD
Do đó: MP là đường trung bình của ΔDAB
Suy ra: MP//AB
Xét hình thang ABCD có
M là trung điểm của AD
N là trung điểm của BC
Do đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD
Suy ra: MN//AB//CD
Ta có: MN//AB
MP//AB
mà MN và MP có điểm chung là M
nên M,N,P thẳng hàng
b: Xét ΔABC có
N là trung điểm của BC
NK//AB
Do đó: K là trung điểm của AC
Cho hình thang ABCD ,AB là đáy nhỏ,gọi MNPQ lần lượt là trung điểm AD,BC,BD,AC
a) CMR M,N,P,Q thẳng hàng.
b) CMR PQ//CD và PQ=CD-\(\frac{AB}{2}\)
c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MN=PQ=QN
Cho hình thang ABCD ( AB//CD, AB <CD). Gọi M,N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật
a) HS tự chứng minh hình thang ABPN có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
c) Cần thêm điều kiện NP = AB suy ra DC = 3AB
cho hình thang ABCD(AB//CD). Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD,AC,BD a)Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q là 4 đỉnh của hình bình hành b)Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để 4 điểm M,N,P,Q là 4 đỉnh của hình thoi
a: Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
P là trung điểm của AC
Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: MP//BC và \(MP=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔBDC có
Q là trung điểm của BD
N là trung điểm của DC
Do đó: QN là đường trung bình của ΔBDC
Suy ra: QN//BC và \(QN=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra QN//MP và QN=MP
hay MQNP là hình bình hành
cho hình thang ABCD ( AB // CD ) . Gọi M , , N , P , Q lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD a) C/m : M , N , P , Q thẳng hàng b) Nếu AB < CD . C/m : PQ = CD - AB / 2
a) hình thang ABCD có :
AM = MD ( gt )
BN = NC ( gt )
\(\Rightarrow\)MN - đtb httg ABCD
\(\Rightarrow\)MN // AB // CD ( 1 )
t/g ABD có :
AM = MD ( gt )
BQ = QD ( gt )
\(\Rightarrow\)MQ - đtb t/g ABD
\(\Rightarrow\)MQ // AB ( 2 )
t/g ACD có :
AM = MD ( gt )
AP = PC ( gt )
\(\Rightarrow\)MP - đtb t/g ACD
\(\Rightarrow\)MP // CD ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) suy ra M , N , P , Q thẳng hàng
b) \(MP=\frac{CD}{2}\) ( Vì MP - đtb t/g ACD )
\(MQ=\frac{AB}{2}\) ( Vì MQ - đtb t/g ABD )
\(\Rightarrow\)\(MP-MQ=\frac{CD-AB}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(PQ=\frac{CD-AB}{2}\)
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật
a: Xét ΔDAB có M,N lần lượt là trung điểm của DA,DB
=>MN là đường trung bình
=>MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)
Xét ΔCAB có P,Q lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>PQ là đường trung bình
=>PQ//AB và \(PQ=\dfrac{AB}{2}\)
Xét hình thang ABCD có
M,Q lần lượt là trung điểm của AD,BC
=>MQ là đường trung bình
=>MQ//AB//CD và \(MQ=\dfrac{AB+CD}{2}\)
MQ//AB
MN//AB
Do đó: M,N,Q thẳng hàng(1)
PQ//AB
MQ//AB
Do đó: M,P,Q thẳng hàng(2)
Từ (1),(2) suy ra M,N,P,Q thẳng hàng
b: Gọi O là giao của AC và BD
Xét ΔABD và ΔBAC có
AB chung
BD=AC
AD=BC
Do đó: ΔABD=ΔBAC
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\)
=>OA=OB
OA+OC=AC
OB+OD=BD
mà OA=OB và AC=BD
nên OC=OD
Xét ΔOCD có NP//DC
nên \(\dfrac{ON}{OD}=\dfrac{OP}{OC}\)
mà OD=OC
nên ON=OP
ON+OB=BN
OA+OP=AP
mà ON=OP và OA=OB
nên BN=AP
Xét hình thang ABPN có PA=BN
nên ABPN là hình thang cân