\(P=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy Schwarz)

\(=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)

Ta có: \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) .Thế vào biểu thức

\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)

\(\Rightarrow P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

không cần giỏi cũng giải được mà. cứ giải đi không cần biết đúng hay sai là được

THẾ LÀ GIỎI RÙI

nhưng mình nghĩ mãi không ra nếu bạn nói được như vậy thì thử giải giúp mình xem

-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.

a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)

b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)

bạn chọn vô biểu tượng fx cái thứ 2 dòng trên cùng từ trái qua đó

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\) $(1)$

Vì $a+b+c=1$ nên

\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+ab^2+b^3+bc^2+c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)\)

Áp dụng AM-GM:

\(a^3+ab^2\geq 2a^2b\). Tương tự cho $2$ cặp còn lại suy ra:

\(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

xét hiệu

\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge0\)

<=> \(\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge0\)

<=>\(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

<=> (a-b)² +(b-c)² +(c-a)² ≥ 0 (luôn đúng)

=> đpcm)

mk tg chỉ luôn lớn hơn 0 chưa