Question

cm bất đẳng thức sau với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

nhanh nhé mình cần gấp

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\) $(1)$

Vì $a+b+c=1$ nên

\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+ab^2+b^3+bc^2+c^3+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)\)

Áp dụng AM-GM:

\(a^3+ab^2\geq 2a^2b\). Tương tự cho $2$ cặp còn lại suy ra:

\(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$