a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

b: BA=BE

DA=DE

=>BD là trung trực của AE

c: Xét ΔBFC có

FE,CA là đường cao

FE cắt CA tại D

=>D là trực tâm

=>BD vuông góc CF

a, Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
     góc BAD=BED(tam giác abc vuông, DE vuông góc BC)
     BD=BD(chung)
     góc ABD=EBD (BD là phân giác)
=)tam giác ABD=tam giác EBD(cạnh huyền-góc nhọn)
vậy.....
b,gọi giao của AE và BD là O
ta có tam giác ABD=tam giác EBD
=)AB=BE ( 2 cạnh tưng ứng)
xét tam giác ABO và tam giác EBO có:
AB=BE (cmt)
góc ABO=EBO ( BD là phân giác)
BO=BO ( chung)
=)tam giác ABO=EBO (c-g-c)
=)AO=OE ( 2 cạnh tương ứng)(1)
   AOB=EOB( 2 góc tương ứng)
mà AOB+EOB=180 độ ( 2 góc kề bù)
=)AOB=EOB=180:2=90độ
=)BO vuông góc AE (2)
từ(1) và (2)=)BO là trung trực AE
vậy....
c, Ta có tam giác DEC vuông tại E
=)DC>DE ( trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
mà DE=DA ( tam giác ABD= tam giác EBD)
=)DC>DA
hay DA<DC
vậy....


  
 

a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có 

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔABD=ΔEBD

b: Ta có: ΔBAD=ΔBED

nên BA=BE và DA=DE

Ta có: BA=BE

nên B nằm trên đường trung trực của AE\(\left(1\right)\)

Ta có: DA=DE

nên D nằm trên đường trung trực của AE\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra BD là đường trung trực của AE

c: Ta có: DA=DE

mà DE<DC

nên DA<DC

d: Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có 

DA=DE

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)

Do đó: ΔADF=ΔEDC

Suy ra: AF=EC và DF=DC

Ta có: BA+AF=BF

BE+EC=BC

mà BA=BE

và AF=EC

nên BF=BC

Ta có: BF=BC

nên B nằm trên đường trung trực của CF\(\left(3\right)\)

Ta có: DF=DC

nên D nằm trên đường trung trực của CF\(\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\) suy ra BD là đường trung trực của CF

hay BD\(\perp\)CF

a) Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ (vì BD là phân giác của góc $\angle ABC$), và $\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC). Vậy tam giác ABD và tam giác EBD có cặp góc đồng nhất, nên chúng bằng nhau theo trường hợp góc - góc - góc của các tam giác đồng dạng. Do đó, ta có tam giác ABD = tam giác EBD.

b) Ta cần chứng minh AH song song với DE, và tam giác AID cân.

Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ (theo phần a)), và $\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với BC). Vậy tam giác ABD và tam giác EBD đồng dạng. Do đó:

$$\frac{AB}{EB} = \frac{BD}{BD} = 1$$

$$\Rightarrow AB = EB$$

Mà $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AB = AH \cos(\widehat{BAC})$. Tương tự, ta có $EB = ED \cos(\widehat{BAC})$. Vậy:

$$\frac{AH}{ED} = \frac{AB}{EB} = 1$$

Do đó, $AH = ED$, hay $AH$ song song với $DE$.

Tiếp theo, ta chứng minh tam giác $AID$ cân. Ta có:

$$\angle AID = \angle BID - \angle BIA = \frac{1}{2} \angle ABC - \angle BAC$$

Mà $\angle ABC = 90^\circ + \angle BAC$, nên:

$$\angle AID = \frac{1}{2}(90^\circ + \angle BAC) - \angle BAC = \frac{1}{2}(90^\circ - \angle BAC)$$

Tương tự, ta có:

$$\angle ADI = \frac{1}{2} \angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$

Vậy tam giác $AID$ có hai góc bằng nhau là $\angle AID$ và $\angle ADI$, nên đó là tam giác cân.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $AH$ song song với $DE$, và tam giác $AID$ cân.

a: Xét ΔABD vuông tại A và ΔEBD vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔABD=ΔEBD

b: AH vuông góc BC

DE vuông góc BC

=>AH//DE

a) Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCDB vuông tại D có 

BC chung

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBEC=ΔCDB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: \(\widehat{BCE}=\widehat{DBC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)

nên ΔIBC cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)

\(\Leftrightarrow IB=IC\)(hai cạnh bên)

Xét ΔBAI và ΔCAI có 

BA=CA(ΔABC cân tại A)

AI chung

IB=IC(cmt)

Do đó: ΔBAI=ΔCAI(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(hai góc tương ứng)

c) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: IB=IC(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy AI là đường trung trực của BC(đpcm)

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-can-tai-a-ke-bd-vuong-goc-voi-ac-va-ke-ce-vuong-goc-voi-ab-bd-va-ce-cat-nhau-tai-i-chung-minh-goc-bai-goc-cai-ai-la-trung-truc.69327720128

a: Xét ΔABD và ΔEBD có 

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔEBD

b: Ta có: ΔABD=ΔEBD

Suy ra: DA=DE

Ta có: ΔABD=ΔEBD

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\)

hay DE⊥BC

c: Ta có: BE=BA

nên B nằm trên đường trung trực của EA(1)

Ta có: DE=DA

nên D nằm trên đường trung trực của EA(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của EA

a: Xét ΔABD và ΔEBD có 

BA=BE

ˆABD=ˆEBDABD^=EBD^

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔEBD

b: Ta có: ΔABD=ΔEBD

Suy ra: DA=DE

Ta có: ΔABD=ΔEBD

a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)FBD có

BAD=BFD (=90 độ)

ABD=FBD (BD là tia pg của ABC)

BD là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(chgn)

b)Ta có  \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(cmt)

\(\Rightarrow\)AB=FB(2 cạnh t/ứ)

\(\Rightarrow\Delta ABFcântạiB\)

Xét \(\Delta\)ABF cân tại B có : BD là pg ABC hay BD là pg ABF

\(\Rightarrow\)BD đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng À

c)Vì \(\Delta\) DFC vuông tại F

\(\Rightarrow\)cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất của \(\Delta\) DFC

\(\Rightarrow\)DC>FD

Mà AD=FD (vì \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD)

Nên AD<DC

d) Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)FDC có

          DAE=DFC(=90 độ)

          AE=CF(gt)

          AD=FD(cmt)

Do đó\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)FDC(2 cạnh góc vuông)

         \(\Rightarrow\)ADE=FDC(2 góc t./ứ)

Mà ADE+EDC=180 độ

     CDF+EDC=180 độ

Hay EDF=180 độ

\(\Rightarrow\)E,D,F thẳng hàng

a)xét ΔABD và ΔFED có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BFD}=90^o\)

BD là cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{FBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))

⇒ΔABD=ΔFED(c.huyền.g.nhọn)

b)gọi I là giao điểm của AF và BD

xét ΔABI và ΔFBI có:

BF=AB(ΔABD=ΔFED)

BI là cạnh chung

\(\widehat{ABI}=\widehat{FBI}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))

⇒ΔABI=ΔFBI(c-g-c)

⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}\)(2 góc tương ứng)₍₁₎

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{BIF}=180^o\)(2 góc kề bù)₍₂₎

từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

vì ΔABI=ΔFBI⇒IA=IF

Do đó:BD là trung trực của AF(đ.p.cm)

c)xét ΔDCF có

DC là cạnh huyền

⇒DC>DF

Mà DF=AD

⇒DC>AD

d)Ta có:

AB=DF(ΔABD=ΔFED)

Mà AE=FC

⇒AB+AE=DF+FC

hay BE=DC

xét ΔBDC và ΔBDE có:

BE=DC(ch/m trên)

\(\widehat{EBD}=\widehat{CBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{EBC}\))

BD là cạnh chung

⇒ ΔBDC=ΔBDE(c-g-c)

⇒\(\widehat{BDE}=\widehat{BDC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BDF}\)(ΔABD=ΔFED)

⇒\(\widehat{BDE}-\widehat{BDA}=\widehat{BDC}-\widehat{BDF}\)

hay \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\)(đ.p.cm)

ta có:\(\widehat{ADE}+\widehat{CDE}=180^o\)(2 góc kề bù)

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\) ⇒\(\widehat{FDC}+\widehat{CDE}=180^o\) 

hay E,D,F thẳng hàng(đ.p.cm)