Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DF ⊥ BC tại F. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = CF. Chứng minh:

a) Chứng minh: ∆ ABD = ∆ FBD

b) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn thẳng AF

c) So sánh AD và DC

d) Góc ADE = góc FDC và E, D, F thẳng hàng

Answer 1

a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)FBD có

BAD=BFD (=90 độ)

ABD=FBD (BD là tia pg của ABC)

BD là cạnh chung

Do đó \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(chgn)

b)Ta có  \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(cmt)

\(\Rightarrow\)AB=FB(2 cạnh t/ứ)

\(\Rightarrow\Delta ABFcântạiB\)

Xét \(\Delta\)ABF cân tại B có : BD là pg ABC hay BD là pg ABF

\(\Rightarrow\)BD đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng À

c)Vì \(\Delta\) DFC vuông tại F

\(\Rightarrow\)cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất của \(\Delta\) DFC

\(\Rightarrow\)DC>FD

Mà AD=FD (vì \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD)

Nên AD<DC

d) Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)FDC có

          DAE=DFC(=90 độ)

          AE=CF(gt)

          AD=FD(cmt)

Do đó\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)FDC(2 cạnh góc vuông)

         \(\Rightarrow\)ADE=FDC(2 góc t./ứ)

Mà ADE+EDC=180 độ

     CDF+EDC=180 độ

Hay EDF=180 độ

\(\Rightarrow\)E,D,F thẳng hàng

Answer 2

a)xét ΔABD và ΔFED có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BFD}=90^o\)

BD là cạnh chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{FBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))

⇒ΔABD=ΔFED(c.huyền.g.nhọn)

b)gọi I là giao điểm của AF và BD

xét ΔABI và ΔFBI có:

BF=AB(ΔABD=ΔFED)

BI là cạnh chung

\(\widehat{ABI}=\widehat{FBI}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))

⇒ΔABI=ΔFBI(c-g-c)

⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}\)(2 góc tương ứng)₍₁₎

  

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{BIF}=180^o\)(2 góc kề bù)₍₂₎

từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

vì ΔABI=ΔFBI⇒IA=IF

Do đó:BD là trung trực của AF(đ.p.cm)

c)xét ΔDCF có

DC là cạnh huyền

⇒DC>DF

Mà DF=AD

⇒DC>AD

d)Ta có:

AB=DF(ΔABD=ΔFED)

Mà AE=FC

⇒AB+AE=DF+FC

hay BE=DC

xét ΔBDC và ΔBDE có:

BE=DC(ch/m trên)

\(\widehat{EBD}=\widehat{CBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{EBC}\))

BD là cạnh chung

⇒ ΔBDC=ΔBDE(c-g-c)

⇒\(\widehat{BDE}=\widehat{BDC}\)(2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BDF}\)(ΔABD=ΔFED)

⇒\(\widehat{BDE}-\widehat{BDA}=\widehat{BDC}-\widehat{BDF}\)

hay \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\)(đ.p.cm)

ta có:\(\widehat{ADE}+\widehat{CDE}=180^o\)(2 góc kề bù)

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\) ⇒\(\widehat{FDC}+\widehat{CDE}=180^o\) 

hay E,D,F thẳng hàng(đ.p.cm)