\(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

\(M=4x^2-4x+1+x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

\(M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

Vì \(\left(2x-1\right)^2\ge0\) và \(x>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4x}>0\)

Lợi dụng BĐT Cauchy cho 2 số nguyên dương ta có:

\(x+\dfrac{1}{4x}\ge2\sqrt{x\dfrac{1}{4x}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\ge0+1+2010=2011\)

\(\Rightarrow M\ge2011\)

Dấu " = " xảy ra khi:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\\x=\dfrac{1}{4x}\\x>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x^2=\dfrac{1}{4}\\x>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\\x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(M_{min}=2011\) đạt được khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

= \(\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

\(\ge0+2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}+2010\) = \(1+2010=2011\)

=> Dấu = xảy ra <=> \(2x=1\) => \(x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy ........................................

\(M=\)như trên

\(=>M=4x^2-4x+1+x+\frac{1}{4x}+2010\)

\(=>M=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2010\)

\(=>M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2010\)

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số không âm, ta có: 

\(x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(=>M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2010\ge0+1+2010=2011\\ \)

=>minM=2011 khi x=\(\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
$3x^2+\frac{3}{4}\geq 3x$

$x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}\geq 3\sqrt[3]{x^2.\frac{1}{8x}.\frac{1}{8x}}=\frac{3}{4}$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{4x}+\frac{3}{4}\geq 3x+\frac{3}{4}$

$\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{4x}\geq 3x$

$\Rightarrow M=4x^2+\frac{1}{4x}-3x+2011\geq 2011$

Vậy $M_{\min}=2011$ khi $x=\frac{1}{2}$

Điều kiện là x>0 hay x<0 bạn?

Với \(x< 0\) thì ko có min hay max đâu

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(4x^2+1\geq 4x\)

\(\Rightarrow M= 4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011\geq x+\frac{1}{4x}+2010\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM: \(x+\frac{1}{4x}\geq 1\)

\(\Rightarrow M\geq x+\frac{1}{4x}+2010\geq 2011\)

Vậy $M_{\min}=2011$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{2}$

vừa với giải xong giờ lại giải lại :v

\(M=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011\)

\(=\left(2x-1\right)^2+x+\frac{1}{4x}+2010\)

Theo bđt Cauchy : \(x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{4}}=1\)

Suy ra : \(M\ge1+2010=2011\)

Vậy \(Min_M=2011\)khi \(x=\frac{1}{2}\)

1) A = 3 - 4x² - 4x  = - (4x² + 4x +1) + 4 = - (2x+1)² + 4 

Vì  - (2x+1)² \(\le\)0 nên A =  - (2x+1)² + 4 \(\le\) 4 vậy maxA = 4 khi 2x+1 = 0 => x = -1/2

b) ta có x² + 6x + 11 = x² + 2.3x + 9 + 2 = (x+3)² + 2 \(\ge\) 0 + 4 = 4

=> \(B=\frac{1}{x^2+6x+11}\le\frac{1}{4}\) vậy maxB = 1/4 khi x = -3

2) a) 3x² - 3x + 1 = 3.(x² - x) + 1 = 3.(x² - 2.x\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{1}{4}\) = 3.(x - \(\frac{1}{2}\) )² + \(\frac{1}{4}\) \(\ge\)0 + \(\frac{1}{4}\)= \(\frac{1}{4}\)

vậy min(3x² - 3x + 1) = 1/4 khi x = 1/2

b) Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: |a| + |b| \(\ge\) |a - b|. dấu = khi a.b < 0

ta có:  |3x - 3| + |3x - 5| \(\ge\) |3x - 3 - (3x - 5)| = |2| = 2

vậy min = 2 khi (3x - 3)(3x - 5) < 0 hay 1< x <  5/3