Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn luôn < 90\(^0\) => Góc BCA là góc nhọn

Mà góc ACN kề bù với góc ACM => ACN là góc tù

Trong một tam giác chỉ có thể có nhiều nhất một góc tù nên ANC là góc nhọn

Hay góc ANC < ACN => AN > AC ( Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện )

Mà AC = AB ( Do tam giác ABC cân)

=> AN > AB

*Xét hai cạnh AM và AB có :

*TH1 : M là Trung Điểm của BC ( Do M thuộc BC đã cho ở gt )

=> M là Đường vuông góc hạ từ đỉnh A

=> AM < AB ( Quan hệ giữa đường vuông góc và hình chiếu )

*TH2 : M không phải là trung điểm của BC ( M thuộc BC )

- MB < MC hoặc MC > MB ( Hạ đường vuông góc để chứng minh )
=> AM < AB ; AM < AC ( Hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn)

KL : Vậy với M nằm bất kì trong BC, N là một điểm bất kì nằm ngoài BC, khi tam giác ABC cân thì AM<AB<AN

a) \(\widehat{C}< \widehat{B}\)

\(\Rightarrow AB< AC\)

\(\Rightarrow HB< HC\)

\(\Rightarrow AB+HB< AC+HC\)

b) \(\widehat{AMH}< 90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}>90^o\)

\(\Rightarrow AM< AB\)

\(\widehat{ACB}< 90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ACN}>90^o\)

\(\Rightarrow AC< AN\)

\(\Rightarrow AB< AN\)

\(\Rightarrow AM< AB< AN\)

a) Ta có:

\(\widehat{BAH}\)=90⁰ - \(\widehat{ABC}\)
\(\widehat{CAH}\)=90⁰ - \(\widehat{ACB}\)

Vì \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\)  (gt) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BAH}< \widehat{CAH}\) (1)

Mà BH đối diện với\(\widehat{BAH}\), CH đối diện với \(\widehat{CAH}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)BH<CH 

b) Ta có:

\(\widehat{AMH}\)=90⁰ - \(\widehat{MAH}\)

\(\widehat{AMB}\)=180⁰ - 90⁰ + \(\widehat{MAH}\)= 90⁰ + \(\widehat{MAH}\)> 90⁰

\(\widehat{ABH}\) phụ với \(\widehat{ABH}\) nên \(\widehat{ABH}\) < 90⁰

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}\)>\(\widehat{ABH}\)

Mà AM đối diện với \(\widehat{ABM}\), AB đối diện với \(\widehat{AMB}\)\(\Rightarrow\) AB>AM (3)

- Tương tự, ta cũng có:

\(\widehat{ABH}\)=90⁰ - \(\widehat{BAH}\)

\(\widehat{ABN}\)=180⁰ - 90⁰ + \(\widehat{BAH}\)= 90⁰ +\(\widehat{BAH}\)>90⁰

\(\widehat{ANB}\) phụ với \(\widehat{NAH}\) nên \(\widehat{ANB}\)< 90⁰

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABN}\)> \(\widehat{ANB}\)

Mà AN đối diện với \(\widehat{ABN}\), AB đối diện với \(\widehat{ANB}\) \(\Rightarrow\) AN>AB (4)

Từ (3) và (4) theo tính chất bắc cầu ⇒ AM<AB<AN (đpcm).

#Châu's ngốc

tHÊM HÌNH NHÉ

a: Xét ΔABM và ΔACN có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN=9cm và AB=AC=15cm

Xét ΔABC có BM là phân giác

nên AM/MC=AB/BC

=>15/BC=9/6=3/2

=>BC=10cm

b: Xét ΔABC có AM/AC=AN/AB

nên MN//BC

c: Xét ΔABC có MN//BC

nên AM/AC=MN/BC

=>MN/10=9/15=3/5

=>MN=6(cm)

a: Xet ΔAMB và ΔAMC có

AM chung

MB=MC

AB=AC
=>ΔAMB=ΔAMC

=>góc MAB=góc MAC

=>AM là phân giác của góc BAC

b: MB=MC

NB=NC

=>MN là trung trực của BC(1)

c: AB=AC

=>A nằm trên trung trực của BC(2)

Từ (1), (2) suy ra A,M,N thẳng hàng