a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)

b: Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{OBA}=90^0\)

\(\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)

mà \(\widehat{OBI}=\widehat{OIB}\)

nên \(\widehat{ABI}=\widehat{HBI}=\widehat{CBI}\)

=>BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

Xét ΔBAC có

AH,BI là các đường phân giác

AH cắt BI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔBAC

a, Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), chúng ta có thể sử dụng định lí thứ ba của đường tròn và định lí Euclid về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp. 

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn, \(O\) là tâm của đường tròn, \(A\) là điểm nằm ngoài đường tròn, \(B\) và \(C\) là các điểm tiếp tuyến từ \(A\) đến đường tròn. \(H\) là giao điểm giữa \(OA\) và \(BC\).

Theo định lí thứ ba của đường tròn, ta có \(OH\) là đoạn trung bình của \(OA\) trong tam giác \(OAB\). Điều này có nghĩa là \(OH\) là trung bình hòa của các phần bằng nhau \(OA\) và \(OB\).

\(OA = OB = R\) (bán kính của đường tròn).

\(OH = \frac{OA + OB}{2} = \frac{2R}{2} = R\).

Vậy, \(OH = R\).

Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), ta có \(OH \times OA = R \times R = R^2\).

Nhưng theo định nghĩa, \(R\) là bán kính của đường tròn, nên \(R^2\) chính là \(\pi^2\) (bán kính mũ hai). Vì vậy, \(OH \times OA = \pi^2\).

b, Để chứng minh \(I\) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), chúng ta có thể sử dụng các định lí về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(OA\) với đường tròn. Khi đó, theo định lí về tiếp tuyến ngoại tiếp, \(OA\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và \(OA\) vuông góc với \(AC\) tại \(C\).

Vì OA là đường trung trực của BC (do H là giao điểm giữa OA và BC, nên OH cũng là đường trung trực của BC.)

Nếu I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, thì OI cũng là đường trung trực của BC

Do đó, OHvà OI là cùng một đường trung trực của BC, nên OH = OI.

Vậy, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=90⁰.

Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1) 

AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC

=> AO vuông góc BC (2)

Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=90⁰.

Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=90⁰ => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB

=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB

Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 180⁰ nên ^HAI + ^KHI = 180⁰

=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD

\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC

Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC

=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 180⁰ (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)

Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 180⁰ (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)

Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 360⁰

<=> ^HKI = 360⁰ - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.

Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)

=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.

Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK

=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).

Bài 1 thiếu đề

Bài 2 Mình không vẽ được hình nên bạn thông cảm

Xét tam giác vuông ACO có \(CM\perp AO\)

=> \(OM.OA=OC^2=OD^2\)

=> \(\frac{OD}{OA}=\frac{OM}{OD}\)

=> tam giác MDO đồng dạng tam giác DAO

=> MDO=OAD

Mà MDO=DEO

=> OAD=DEO

=> tứ giác ADOE nội tiếp

Vậy tứ giác ADOE nội tiếp

cảm ơn bạn nhìu nhé b1 đủ đề đó ko thiếu đâu

à mình quên b1 thiếu , đầy đủ đây nhá bạn giúp mình : Cho điểm M thuộc nửa đường tròn có đường kính AB (M khác A và B). Ta lấy điểm I nằm giữa M và B, kẻ IH vuông góc với cạnh AB tại H. Đoạn thẳng AI cắt đoạn thẳng MH tại điểm K. Chứng minh góc B + góc AKM = 2 góc AIM

Bài này sử dụng bài toán phụ sau : tứ giác MNPQ nội tiếp có 2 đường chéo cắt nhau tại G thì

           GM . GP = GN . GQ  (hệ thức lượng trong đường tròn hay còn gọi là phương tích)

Vì từ giác BECF nội tiếp => HB . HC = HE . HF (1) 

VÌ tứ giác ABOC có ^ABO = ^ACO = 90^o

=> ABOC nội tiếp => HO . HA = HB . HC (2)

Từ (1) ; (2) => HO . HA = HE . HF

                 => AEOF nội tiếp (đpcm)

a: ΔODE cân tại O có OI là trung tuyến

nên OI vuông góc DE

góc OIA=góc OBA=90 độ

=>OIBA nội tiếp

b: Xét (O) có

AC,AB là tiếp tuyến

=>AC=AB

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>BC vuông góc OA tại H

=>AH*AO=AB^2

Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB/AD=AE/AB

=>AB^2=AD*AE=AH*AO

Ta có: tỨ giác OCEA nội tiếp

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OEA}\)(1)

Vì OC=OB 

=> Tam giác OBC cân 

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)(2)

Tứ giác ODAB nội tiếp

=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\)( cùng bù với góc OBA) (3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OEA}\)

=> Tam giác ODE cân có OA là đươngcao

=> OA là đường trung tuyến

=> A là trung điểm của DE

góc OBA+góc OCA=90+90=180 độ

=>ABOC nội tiếp