Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{x^2+4yz}{2}\ge2x\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x^2+4yz}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}\Rightarrow\frac{1}{x^2+4yz}\le\frac{1}{4x\sqrt{yz}}\)

Cộng theo vế ta có:

\(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}\le\frac{1}{4x\sqrt{yz}}+\frac{1}{4y\sqrt{xz}}+\frac{1}{4z\sqrt{xy}}\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{4x\sqrt{yz}}+\frac{1}{4y\sqrt{xz}}+\frac{1}{4z\sqrt{xy}}\le\frac{1}{xyz}\)

Nhân 2 vế với \(xyz\) ta lại được BĐT cần c/m tương đương với:

\(\frac{1}{4}\left(\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)\le1\)

Áp dụng BĐT AM-GM lần nữa ta có:

\(\frac{1}{4}\left(\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=1\) (Đúng)

Vậy BĐT đầu đã được c/m

\(\left|\left\{\right\}\right|\)

Theo đề ta có : x > 0\(\Rightarrow x^2+4yz>4yz\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+4yz}< \frac{1}{4yz}\) (1)

Chứng minh tương tự :\(\frac{1}{y^2+4xz}< \frac{1}{4xz}\) (2)

\(\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{4xy}\) (3)

Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế ,ta được :

\(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{4}\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\right)=\frac{1}{4}\times\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{xyz}\)

Vậy \(\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4xz}+\frac{1}{z^2+4xy}< \frac{1}{xyz}\)

@Nguyễn Việt Lâm

@Lê Thị Thục Hiền

@Phạm Minh Quang

\(P=\sum\frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2}}{4yz+1}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}\)

Đặt \(\left(x+y;y+z;z+x\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=3\)

\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{a}{b^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\right)\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right)\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(P_{min}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

@Akai Haruma

@Trần Thanh Phương

@HISINOMA KINIMADO

ko lam thi thoi chui cl ay!!!

đù , chuyện giề đang xảy ra vậy man

bọn bay ngáo quá rùi  hút cần à chửi tục hơn thánh mé chửi nữa cho phai nick hét bây giờ ,ko tao số má lun 

Em thử nha, ko chắc đâu;( em thấy nó giống giống lời giải một bài toán nào đó trên tạp chí toán tuổi thơ mà em đã đọc qua lúc trước: chỗ khúc cuối xét \(t_1>t_2\ge3\) ấy ạ. Nên bắt chước lại chỗ đó. tạm thời em chưa nghĩ ra lời nào khác.

Từ đề bài ta có \(1=xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\Rightarrow t=x+y+z\ge3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{t^2}{t+3}\). Cần chứng minh \(\frac{t^2}{t+3}\ge\frac{3}{2}\left(t\ge3\right)\Leftrightarrow f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\) (1)

Xét \(t_1>t_2\ge3\). Khi đó \(f\left(t_1\right)-f\left(t_2\right)=2\left(t_1^2-t_2^2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)

\(=2\left(t_1-t_2\right)\left(t_1+t_2\right)-3\left(t_1-t_2\right)\)

\(=\left(t_1-t_2\right)\left(2t_1+2t_2-3\right)>\left(t_1-t_2\right)\left(2.3+2.3-3\right)=9\left(t_1-t_2\right)>0\) (do \(t_1>t_2\ge3\))

Do đó khi t tăng thì hàm số f(t) tăng, tương tự t giảm thì f(t) giảm với \(t\ge3\). Do đó f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3.

Khi đó f(t) = 0. Do đó (1) đúng hay ta có đpcm.

A hay là cách này ấy nhỉ? Cách này thì chắc ăn hơn cách kia.(chỗ chứng minh f(t) >=0 với t>=3)

Cần chứng minh \(f\left(t\right)=2t^2-3t-9\ge0\)

\(\Leftrightarrow2t^2-6t+3t-9\ge0\) (Tách -3t thành -6t + 3t)

\(\Leftrightarrow2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)=\left(2t+3\right)\left(t-3\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(t\ge3\))

Do đó f(t) \(\ge0\). Hay ta có đpcm.

Quên nữa! Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1 :v

Câu hỏi của FF_ - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)

Vậy:

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{1+4xy}+\frac{\left(y+z\right)^2}{1+4yz}+\frac{\left(z+x\right)^2}{1+4zx}\right]\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{3+4\left(xy+yz+zx\right)}\right]\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{9}{3+\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)