a:

Tọa độ đỉnh là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\left(-2\right)}{2\cdot1}=1\\y=-\dfrac{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot3}{4\cdot1}=-\dfrac{4-12}{4}=2\end{matrix}\right.\)

=>Hàm số đồng biến khi x>1 và nghịch biến khi x<1

=>Trong khoảng (-1;1) thì khi x tăng thì y giảm và trong khoảng (1;2) thì khi x tăng thì y tăng

=>Khi x=1 thì f(x) min

=>\(y=1^2-2\cdot1+3=1-2+3=2\)

b: Tọa độ đỉnh là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-\left(-2\right)}{2\cdot1}=1\\y=-\dfrac{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot5}{4}=-\dfrac{4-20}{4}=-\dfrac{-16}{4}=4\end{matrix}\right.\)

=>Hàm số nghịch biến khi x<1 và đồng biến khi x>1

=>Trên khoảng [2;3] thì khi x tăng thì y tăng

Do đó: Khi x=2 thì y min và x=3 thì y max

Khi x=2 thì \(y=2^2-2\cdot2+5=5\)

Khi x=3 thì \(y=3^2-2\cdot3+5=9+5-6=8\)

Áp dụng Bunyakovsky, ta có :

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)

=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)

=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Mấy cái kia tương tự 

1:

a: =x^2-7x+49/4-5/4

=(x-7/2)^2-5/4>=-5/4

Dấu = xảy ra khi x=7/2

b: =x^2+x+1/4-13/4

=(x+1/2)^2-13/4>=-13/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

e: =x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4>=3/4

Dấu = xảy ra khi x=1/2

f: x^2-4x+7

=x^2-4x+4+3

=(x-2)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=2

2:

a: A=2x^2+4x+9

=2x^2+4x+2+7

=2(x^2+2x+1)+7

=2(x+1)^2+7>=7

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: x^2+2x+4

=x^2+2x+1+3

=(x+1)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=-1

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

1. Không rõ đề

2.

\(y'=\sqrt{x^2+3}+\frac{x\left(x-6\right)}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{2x^2-6x+3}{\sqrt{x^2+3}}< 0;\forall x\in\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow\) Hàm nghịch biến trên \(\left[1;2\right]\Rightarrow y_{max}=y\left(1\right)=-10\)

3.

\(y'=3x^2-4mx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\frac{4m}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(y\left(1\right)=3-3m\) ; \(y\left(3\right)=29-19m\)

TH1: \(\frac{4m}{3}\le1\Rightarrow m\le\frac{3}{4}\) khi đó hàm đồng biến trên \(\left[1;3\right]\Rightarrow y_{max}=y\left(3\right)\)

\(\Rightarrow29-19m=6\Leftrightarrow m=\frac{23}{19}>\frac{3}{4}\left(ktm\right)\)

TH2: \(\frac{4m}{3}\ge3\Rightarrow m\ge\frac{9}{4}\)

Khi đó hàm nghịch biến trên \(\left[1;3\right]\Rightarrow y_{max}=y\left(1\right)\)

\(\Rightarrow3-3m=6\Rightarrow m=-1< \frac{9}{4}\left(ktm\right)\)

TH3: \(1< \frac{4m}{3}< 3\Rightarrow\frac{3}{4}< m< \frac{9}{4}\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(1;\frac{4m}{3}\right)\) và đồng biến trên \(\left(\frac{4m}{3};3\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm đạt GTLN tại \(x=1\) hoặc \(x=3\)

\(y\left(1\right)=3-3m=6\Rightarrow m=-1\notin\left(\frac{3}{4};\frac{9}{4}\right)\) (loại)

\(y\left(3\right)=29-19m=6\Rightarrow m=\frac{23}{19}\in\left(\frac{3}{4};\frac{9}{4}\right)\)

Vậy \(m=\frac{23}{19}\)