I là trọng tâm của ΔABC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3\cdot x_I\\y_A+y_B+y_C=3\cdot y_I\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3+\left(-1\right)+x_C=3\cdot1=3\\-1+2+y_C=3\cdot1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3-2=1\\y_C=3-1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(1;2)

Ta có: A(3;-1); B(-1;2); C(1;2); D(x;y)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right);\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: D(5;-1)

Tâm O của hình bình hành ABCD sẽ là trung điểm của AC

A(3;-1); C(1;2); O(x;y)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\y=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_I\\y_A+y_B+y_C=3y_I\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-\left(x_A+x_B\right)=1\\y_C=3y_I-\left(y_A+y_B\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(1;2\right)\)

Đặt tọa độ D là \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình bình hành \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(5;-1\right)\)

Tâm O hình bình hành là trung điểm đường chéo AC nên áp dụng công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}=2\\y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(C\left( {a;b} \right),D\left( {m,n} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IC}  = \left( {a - 4,b - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {ID}  = \left( {m - 4,n - 2} \right)\)

Do I là tâm của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm AC và BD.

Vậy ta có:\(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {IC} \)và \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {ID} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AI}  = \left( {7;1} \right)\) và \(\overrightarrow {BI}  = \left( {5; - 1} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {IC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = a - 4\\1 = b - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 3\end{array} \right.\) .Vậy \(C\left( {11;3} \right)\)

Do \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {ID}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = m - 4\\ - 1 = n - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 9\\n = 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {9;1} \right)\)

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(5-x;1-y\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-x=-3\\1-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(8;2\right)\)

Gọi E(x;y) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\\\overrightarrow{EC}=\left(3-x;3-y\right)\end{matrix}\right.\)

Tứ giác ABCE là hbh khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-x=1\\3-y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(2;5\right)\)

a,

\(D\left(x;y\right)\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;1\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(2-x;-4-y\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) ABCD là hình bình hành

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\rightarrow\left(4;1\right)=\left(2-x;-4-y\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-5\end{matrix}\right.\)

\(\rightarrow D=\left(-2;-5\right)\)

b. \(AB=CD=\sqrt{4^2+1^2=\sqrt{17}}\)

\(AD=BC=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(-4-1\right)^2}=\sqrt{37}\)

\(\rightarrow P_{ABCD}=2\sqrt{17}+2\sqrt{37}\)

Gọi pt đường thẳng đi qua A và B là y=ax+b

Nên ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}1=-3a+b\\2=a+b\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{4}\\b=\frac{7}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\rightarrow AB:y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}hay:x-47+7=0\)

\(d_{D-AB}=\frac{|2-4.\left(-5\right)+7|}{\sqrt{1^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{25}{\sqrt{17}}\)

\(S_{ABCD}=AB.d_{D-AB}=\sqrt{17}.\frac{25}{\sqrt{17}}=25\)