Gọi M là điểm tiếp xúc hai đường tròn.

Đường tròn đã cho có tâm \(I'=\left(1;3\right)\), bán kính \(R'=2\)

\(\Rightarrow II'=\sqrt{\left(1+4\right)^2}=5\)

\(\Rightarrow\) Bán kính đường tròn cần tìm \(R=3\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x+4\right)^2+\left(y-3\right)^2=9\)

  d lâu r ko làm ko nhớ -)(

a.

\(R=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|3+1-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)

b.

Tiếp tuyến d' qua O nên có dạng: \(ax+by=0\)

d' tiếp xúc (C) nên \(d\left(A;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(3a+b\right)^2=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+6ab-b^2=0\Rightarrow\left(a+b\right)\left(7a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\7a-b=0\end{matrix}\right.\) chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(1;-1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;7\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x+7y=0\end{matrix}\right.\)

c.

Gọi M là trung điểm EF

\(\Rightarrow AM\perp EF\Rightarrow AM=d\left(A;d\right)=\sqrt{2}\)

\(S_{AEF}=\dfrac{1}{2}AM.EF=6\Rightarrow AM.EF=12\)

\(\Rightarrow EF=\dfrac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow EM=\dfrac{EF}{2}=3\sqrt{2}\)

Áp dụng Pitago:

\(R'=AE=\sqrt{EM^2+AM^2}=2\sqrt{5}\)

a: \(IA=\sqrt{\left(-2-1\right)^2+\left(0+2\right)^2}=\sqrt{13}\)

Phương trình (C) là:

(x-1)^2+(y+2)^2=13

b: vecto IM=(3;2)

Phương trình tiếp tuyến là:

3(x-4)+2(y-0)=0

=>3x+2y-12=0

Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{5}\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IH\perp AB\Rightarrow IH=d\left(I;\Delta\right)\)

\(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}IH.AB=\dfrac{1}{2}IH.2AH=IH.\sqrt{IA^2-IH^2}=IH.\sqrt{20-IH^2}\)

\(\Rightarrow IH\sqrt{20-IH^2}=8\)

\(\Rightarrow IH^4-20IH^2+64=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}IH=4\\IH=2\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(-1;-2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{5}\), mà \(IH\le IM\Rightarrow IH=2\)

Gọi \(\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của \(\Delta\) với a;b không đồng thời bằng 0

\(\Rightarrow\) Phương trình \(\Delta\): \(a\left(x-1\right)+b\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow ax+by-a+3b=0\)

\(d\left(I;\Delta\right)=IH\Leftrightarrow\dfrac{\left|2a-b-a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|a+2b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+4ab+4b^2=4a^2+4b^2\)

\(\Rightarrow3a^2-4ab=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\3a=4b\end{matrix}\right.\)

Chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(0;1\right)\\\left(a;b\right)=\left(4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y+3=0\\4x+3y+5=0\end{matrix}\right.\)

1.

Gọi \(I\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(x-1;y-3\right)\)

Do đường tròn tiếp xúc với \(d_1;d_2\) nên:

\(d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\Rightarrow\dfrac{\left|5x+y-3\right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{\left|2x-7y+1\right|}{\sqrt{53}}\)

Chà, đề đúng ko em nhỉ, thế này thì vẫn làm được nhưng rõ ràng nhìn 2 cái mẫu kia thì số liệu sẽ xấu 1 cách vô lý.

2.

Phương trình đường thẳng kia là gì nhỉ? \(2x+y=0\) à?