Cho các biểu thức A = \(\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) và B = \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\) với x≥0; x≠1; x≠9
a. Rút gọn P = A - B
b. Tìm x ϵ N để biểu thức \(\dfrac{1}{P}\) đạt giá trị lớn nhất.
Cho các biểu thức A=\(\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) và B=\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\) với x≥0, x≠1, x≠9
a) Tính giá trị của B khi x=4
b) Rút gọn biểu thức P=A-B
c) Tìm xϵN để biểu thức \(\dfrac{1}{P}\) đạt giá trị lớn nhất
a) Thay x=4 vào biểu thức \(B=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\), ta được:
\(B=\dfrac{3}{\sqrt{4}-1}=\dfrac{3}{2-1}=3\)
Vậy: Khi x=4 thì B=3
b) Ta có: P=A-B
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6+x-\sqrt{x}-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x-\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)
Cho hai biểu thức A=\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+6}}\) và B=\(\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{5}{1-\sqrt{x}}\)(với x≥0,x≠1)
a.tính giá trị biểu thức a khi x=4
b.rút gọn P
C.VỚI p=a.b ,tìm giá trị của x để p<0
a: Sửa đề: \(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}\)
Khi x=4 thì \(A=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}+6}=\dfrac{2}{2+6}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)
b: \(B=\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{5}{1-\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{5}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{4+\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)+5\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{4+x+2\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\)
c: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
Để P<0 thì \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}< 0\)
mà \(\sqrt{x}>0\)
nên \(\sqrt{x}-1< 0\)
=>\(\sqrt{x}< 1\)
=>0<=x<1
Cho các biểu thức A=\(\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\) và B=\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{10-5\sqrt{x}}{x-5\sqrt{x}+6}\)(X≥0,X≠9,x≠4)
a.tính giá trị biểu thứC a khi x=3-2\(\sqrt{2}\)
b.rút gọn biểu thứ B
c.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứ P=A:B
\(a.x=3-2\sqrt{2}\\ \Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}\\ =\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}\\ =\left|\sqrt{2}-1\right|\\ =\sqrt{2}-1\left(vì\sqrt{2}>1\right)\)
Thay \(\sqrt{x}=\sqrt{2}-1\) vào A ta được
\(A=\dfrac{\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}\)
\(b.B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{10-5\sqrt{x}}{x-5\sqrt{x}+6}\\ B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{10-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ B=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{10-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ B=\dfrac{x-3\sqrt{x}-\sqrt{x}+3-x+4-10+5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ B=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ B=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)
\(c,P=A:B\\ P=\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}:\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\\ P=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\)
\(P=\dfrac{-\sqrt{x}\left(-\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+1}\)
Có: \(\sqrt{x}\ge0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\left(I\right)\)
Lại có: \(\sqrt{x}\ge0\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x}\le0\\ \Rightarrow-\sqrt{x}+2\le2\)
mà \(-\sqrt{x}\le0\)
\(\Rightarrow-\sqrt{x}\left(-\sqrt{x}+2\right)\ge2\)
Kết hợp với \(\left(I\right)\) \(\Rightarrow\) \(P=\dfrac{-\sqrt{x}\left(-\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+1}\ge2\)
Vậy gtnn của P = \(2\) khi \(x=10+4\sqrt{6}\)
a: Khi \(x=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\) thì
\(A=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}{1+\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{1+\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)
b: \(B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{10-5\sqrt{x}}{x-5\sqrt{x}+6}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{5\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+5\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+3-x+4+5\sqrt{x}-10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)
Câu 1.
Cho các biểu thức \(A=\dfrac{25\sqrt{x}+6}{x-36}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{6-\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}\) và \(B=\dfrac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\) với \(x\ge0;x\ne1;x\ne36\)
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Đặt T = \(\sqrt{A.B}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T.
Câu 2.
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hôm chủ nhật trước, Dũng được bố chở bằng xe máy đi về quê cách nhà 60 km với vận tốc dự định. Trên đường về do có \(\dfrac{1}{3}\) quãng đường là đường xấu nên để đảm bảo an toàn, bố bạn đã phải giảm bớt vận tốc đi 10 km/h, do đó đã về tới quê chậm nhất 10 phút so với dự kiến. Tính vận tốc dự định của hai bố con bạn Dũng.
Câu 3.
1) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}+\dfrac{14}{2y+1}=10\\\sqrt{x-1}-\dfrac{5}{2y+1}=\dfrac{23}{7}\end{matrix}\right.\)
2) Cho phương trình \(x^2-2\left(m+5\right)x+2m+9=0\)
a) Giải phương trình với m = 10.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: x1 - 2 \(\sqrt{x_2}=0\).
Câu 4.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh AEHF, BCEF là các tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh BHCM là hình bình hành và AB.AC = AM.AD.
c) Cho BC cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn; BE cắt (O) tại I. CF cắt (O) tại J. Chứng minh đoạn IJ có độ dài không đổi.
Câu 1:
a) Khi x =16 (t.m ĐKXĐ) thì B có giá trị là:
\(B=\dfrac{16-6\cdot4}{4-1}=\dfrac{-8}{3}\)
b) Ta có:
\(A=\dfrac{25\sqrt{x}+6}{x-36}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{6-\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}=\dfrac{25\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}+\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-6\right)}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}=\dfrac{25\sqrt{x}+6+x+5\sqrt{x}-6+2x-12\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}=\dfrac{3x+18\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\)
c) Ta có:
\(T=\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\cdot\dfrac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{\dfrac{3x\left(\sqrt{x}-6\right)}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}}=\sqrt{\dfrac{3\left(x-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{3\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{3\left(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)+6}\overset{Cosi}{\ge}\sqrt{3\cdot2+6}=2\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(t.m\right)\)
Gọi vận tốc dự định của hai bố con bạn Dũng là x(km/h)(x>0).Đổi: 10 phút =\(\dfrac{1}{6}\)(h)
thời gian dự định đi về quê là \(\dfrac{60}{x}\)(h)
vận tốc đi trên \(\dfrac{1}{3}\)quãng đường là đường xấu hai bố con bạn Dũng là \(x-10\)(km/h)
Thời gian thực tế đi về quê là \(\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot60}{x-10}+\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot60}{x}\)(h)
Vì hai bố con bạn Dũng đã về tới quê chậm mất 10 phút so với dự kiến
Nên ta có pt sau:
\(\left(\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot60}{x-10}+\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot60}{x}\right)-\dfrac{1}{6}=\dfrac{60}{x}\)
⇔\(\dfrac{20}{x-10}+\dfrac{40}{x}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{60}{x}\)
⇔\(20x+40\left(x-10\right)-\dfrac{1}{6}x\left(x-10\right)=60\left(x-10\right)\)
⇔\(-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{5}{3}x+200=0\)
⇒\(\left[{}\begin{matrix}x=40\left(n\right)\\x=-30\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy ......
Gọi x(km/h)x(km/h) là vận tốc dự định của hai bố con (x>10)(x>10)
Thời gian dự định là: 60x60x (giờ)
1313 quãng đường là: 13.60=20(km)13.60=20(km)
Vận tốc trên đoạn đường 20km20km là: x−10(km/h)x−10(km/h)
Thời gian đi trên đoạn đường 20km20km là: 20x−1020x-10 (giờ)
Đoạn đường đi với vận tốc dự định là: 60−20=40(km)60-20=40(km)
Thời gian đi trên đoạn đường 40km40km là: 40x40x (giờ)
Vì hai bố con về tới quê chậm 1010 phút =16=16 giờ nên ta có phương trình sau:
60x+16=20x−10+40x 60x+16=20x-10+40x
⇔20x+16−20x−10=0⇔20x+16-20x-10=0
⇔20.6(x−10)+1.x(x−10)−20.6x=0⇔20.6(x-10)+1.x(x-10)-20.6x=0
⇔120x−1200+x2−10x−120x=0⇔120x-1200+x2-10x-120x=0
⇔x2−10x−1200=0⇔x2-10x-1200=0
⇔⇔[x=−30(loại)x=40(thỏa mãn)[x=−30(loại)x=40(thỏa mãn)
Vậy vận tốc dự định của hai bố con là 40km/h
cho các biểu thức :A=\(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)và B=\(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\);với x≥0,x≠1
rút gọn biểu thức S=A-B
Ta có: S=A-B
\(=\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{x+2+x-1-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{2x+1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
Cho các biểu thức:
A = \(\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) và B = \(\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\) với \(x\ge0;x\ne1;x\ne9\)
Đặt P = A - B. Biểu thức P sau khi tính được là \(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\). Tìm số tự nhiên \(x\) để biểu thức \(\dfrac{1}{P}\) đạt giá trị lớn nhất
`1/P=(sqrtx+1)/(sqrtx-3)=(sqrtx-3+4)/(sqrtx-3)=1+4/(sqrtx-3)(x>=0,x\ne9)`
Để `1/P` max thì `4/(sqrtx-3)` max
Nhận thấy nếu `x<9` thì `sqrtx-3<0` hay `4/(sqrtx-3)<0`
Nếu `x>9` thì `4/(sqrtx-3)>0`
Do đó ta xét `x>9` hay `x>=10`
`=>sqrtx-3>=sqrt10-3`
`=>4/(sqrtx-3)<=4/(sqrt10-3)`
Hay `(1/P)_(max)=1+4/(sqrt10-3)<=>x=10`
Cho các biểu thức A = \(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{x-5\sqrt{x}-6};B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\) với x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9
a, Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25
b, Rút gọn biểu thức A
c, Tìm các giá trị nguyên của x để A > B
a) Thay x=25 vào B ta có:
\(B=\dfrac{\sqrt{25}+2}{\sqrt{25}-2}=\dfrac{7}{3}\)
b) \(A=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{x-5\sqrt{x}+6}\)
\(A=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(A=\dfrac{x-9-x+4+2\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(A=\dfrac{2\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(A=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(A=\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\)
c) Ta có: \(A>B\) Khi:
\(\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}>\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}>0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{x}< 0\\\sqrt{x}-2< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{x}>0\\\sqrt{x}-2>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x< 4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0< x< 4\)
1) Cho biểu thức B=(\(\dfrac{1}{3-\sqrt{x}}\)-\(\dfrac{1}{3+\sqrt{x}}\)) . \(\dfrac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) ( với x>0; x≠9)
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm các giá trị của x để B>0
Lời giải:
a.
\(B=\frac{3+\sqrt{x}-(3-\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}.\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}.\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\\ =\frac{2}{3-\sqrt{x}}\)
b.
Để $B=\frac{2}{3-\sqrt{x}}>0\Leftrightarrow 3-\sqrt{x}>0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}<3$
$\Leftrightarrow 0< x< 9$
Kết hợp với đkxđ suy ra mọi số thực $x$ thỏa mãn $0< x< 9$ thỏa mãn đề.
Cho các biểu thức sau:
A = \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}\) và B = \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2\sqrt{x}}{1-x}\) với \(x\ge0;x\ne1\)
a) Rút gọn các biểu thức B
b) Cho \(P=B:A\). Với \(x>1\), tìm GTNN của biểu thức \(\dfrac{1}{P}\)
a.
\(B=\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+2\sqrt{x}}{1-x}=\dfrac{\sqrt{x}+1+x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{1-x}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b.
\(P=\dfrac{B}{A}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(x+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+4}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\sqrt{x}+1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}\)\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}+2\)
Theo BĐT AM - GM ta có: \(\sqrt{x}-1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{P}\ge6\Rightarrow Min_{\dfrac{1}{P}}=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=4\Rightarrow x=9\) (loại trường hợp \(\sqrt{x}-1=-2\))
Vậy GTNN của biểu thức \(\dfrac{1}{P}=6\) khi x = 9.