Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến

a, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CD

b,  C O A ^ = C O M ^ ; D O M ^ = D O B ^

=>  C O D ^ = 90 0

c, AC.BD = MC.MD =  M O 2 = R 2

d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm

C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF

Gợi ý:

a) Có \(A,M\) cùng nhìn \(CO\) dưới góc \(90^o\) nên \(A,C,M,O\) cùng thuộc một đường tròn. 

b) \(CA=CM,DB=DM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

Xét tam giác \(COD\) vuông tại \(O\) đường cao \(OM\):

\(OM^2=CM.DM=AC.BD\).

c) Kẻ \(MH\perp AB\). Kéo dài \(BM\) cắt \(Ax\) tại \(E\).

Tam giác \(AME\) vuông tại \(M\) có \(CM=CA\) do đó \(C\) là trung điểm của \(AE\). 

Suy ra \(BC\) đi qua trung điểm của \(MH\).

Tương tự ta cũng chứng minh được \(AD\) đi qua trung điểm của \(MH\).

Vậy \(M,N,H\) thẳng hàng suy ra \(MN\perp AB\).

d) Ta có \(\dfrac{OC^2.OD^2}{CD^3}=\dfrac{\left(OC.OD\right)^2}{CD^3}=\dfrac{\left(OM.CD\right)^2}{CD^3}=\dfrac{OM^2}{CD}\).

\(\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{MN}{AC},\dfrac{CM}{DC}=\dfrac{MN}{BD}\) suy ra \(\dfrac{DM+CM}{DC}=MN\left(\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{BD}\right)\)

\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{AC.BD}{AC+BD}=\dfrac{OM^2}{CD}\).

Suy ra đpcm. 

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

a: Xét tứ giác PAOM có

góc PAO+góc PMO=180 độ

=>PAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

PA,PM là tiếp tuyến

nên PA=PM và OP là phân giác của góc MOA(1)

mà OA=OM

nên OP là trung trực của AM

=>OP vuông góc AM

Xét (O) có

QM,QB là tiếp tuyến

nên QM=QB và OQ là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OQ là trung trực của MB

=>OQ vuông góc MB tại K

Từ (1), (2) suy ra góc POQ=1/2*180=90 độ

Xét tứ giác MIOK có

góc MIO=góc MKO=góc IOK=90 độ

=>MIOK là hình chữ nhật

Xét ΔOPQ vuông tại O có OM là đường cao

nên MP*MQ=OM^2=R^2

=>AP*QB=OM^2=R^2 ko đổi

a: Xét tứ giác CAOM có

góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiêp

b: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) co

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: AC*BD=CM*MD=R^2

d: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên ON là đường trung bình

=>ON vuông góc với AB

=>AB là tiếp tuyến của (N)