a: ΔPIM vuông tại I

=>IP^2+IM^2=MP^2

=>IM^2=10^2-6^2=64

=>IM=8(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MI là đường cao

nên PI*PN=PM^2

=>PN=10^2/6=50/3(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MI là đường cao

nên MI^2=IN*IP

=>IN=8^2/6=32/3(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có sin MNP=MP/PN

=10:50/3=3/5

=>góc MNP=37 độ

b: C=MN+NP+MP

=10+40/3+50/3

=10+90/3

=10+30

=40(cm)

c: Xét ΔIMP vuông tại I có IK là đường cao

nên IK*PM=IP*IM

=>IK*10=6*8=48

=>IK=4,8(cm)

Xét `\triangle MNP` vuông tại `M` có `MI` là đường cao

  `@MN=\sqrt{MI^2+NI^2}=\sqrt{881}`.

  `@NP=[MN^2]/[NI]=35,24`.

  `@MP=\sqrt{NP^2-MN^2}=[16\sqrt{881}]/25`.

  `@IP=\sqrt{MP^2-MI^2}=10,24`.

Áp dụng PTG: \(NP=\sqrt{MN^2+MP^2}=10\left(cm\right)\)

Vì MI là trung tuyến ứng cạnh huyền nên \(MI=\dfrac{1}{2}NP=5\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(MP=\sqrt{NP^2-MN^2}=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(MH.NP=MN.MP\Rightarrow MH=\dfrac{MN.MP}{NP}=4,8\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitaho cho tam giác vuông MNH:

\(NH=\sqrt{MN^2-MH^2}=3,6\left(cm\right)\)

Sửa đề; NP=10cm

ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(MP^2=10^2-6^2=64\)

=>MP=8(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot NP=MN\cdot MP\)

=>MH*10=6*8=48

=>MH=4,8(cm)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}MN^2=NH\cdot NP\\PM^2=PH\cdot PN\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}NH=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\\PH=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét △INM và △MND có:

\(\hat{N}\text{ }chung\)

\(\hat{MIN}=\hat{NMD}=90\text{°}\)

⇒△INM ∼ △MND (g.g)

\(ND=NI+DI=10\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{ND}=\dfrac{IN}{MN}\Rightarrow MN=\sqrt{ND.IN}=\sqrt{40}\left(cm\right)\)

Áp dụng đ/l Pytago \(\Rightarrow MD=\sqrt{10^2-\sqrt{40}^2}=\sqrt{60}\left(cm\right)\)

Vậy: \(\begin{matrix}ND=10cm\\MN=\sqrt{40}cm\\MD=\sqrt{60}cm\end{matrix}\)

\(\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MN=\dfrac{3}{4}MP\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{MI^2}=\dfrac{1}{MN^2}+\dfrac{1}{MP^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{48}{5}\right)^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{4}MP\right)^2}+\dfrac{1}{MP^2}\)

\(\Rightarrow MP^2=\dfrac{20736}{625}\Rightarrow MP=\dfrac{144}{25}\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{3}{4}MP=\dfrac{108}{25}\)

\(NP=\sqrt{MN^2+MP^2}=\dfrac{36}{5}\)

b. Áp dụng hệ thức lượng:

\(MP^2=IP.NP\Rightarrow IP=\dfrac{MP^2}{NP}=\dfrac{576}{125}\)

\(S_{MIP}=\dfrac{1}{2}IP.MI=\dfrac{13824}{625}\)