Tập hợp số vô tỉ được biểu diễn :\(I=\left\{\frac{x}{x}\ne\frac{m}{n}\forall m\in Z;\forall n\in Z\left(sao\right)\right\}\)
N* = { 1,2,3,4,5,...} Vậy Z* ; là gì ?
Bài 1 : Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : \(x^2+y^2+5x^2y^2+60=37xy\)
Bài 2 : Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn : \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) và xyz ≠ 0.
Tính giá trị biểu thức : \(P=\frac{16\left(x+y\right)}{z}+\frac{3\left(y+z\right)}{x}-\frac{2019\left(x+z\right)}{y}\)
Bài 2:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{matrix}\right.\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng => \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z (vô lí do x,y,z đôi 1 khác nhau)
=> x + y + z =0
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{matrix}\right.\)
Thay vào P = -16 - 3 + 2019 = 2000
Bài 1:
Ta có: \(x^2+y^2+5x^2y^2+60=37xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy+60=35xy-5x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+60=5\left(7xy-x^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+60=\frac{5\cdot49}{4}-\frac{5}{4}\left(2xy-7\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left[2\left(x-y\right)\right]^2+5\left(2xy-7\right)^2=5\cdot49-60\cdot4=5\)
mà \(x,y\in Z\) và \(2xy-7\ne0\); \(5\left(2xy-7\right)^2\ge5\)
nên \(\left[2\left(x-y\right)\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
|(2xy-7)|=1
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2-7=-1\\2x^2-7=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2=6\\2x^2=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=3\left(loại\right)\\x^2=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\pm2\)
Vậy: (x,y)=(\(\pm2;\pm2\))
Cho tập hợp A=\(\left\{x\in R;\frac{1}{|x-1|}>2\right\}\).Xác định tập hợp R/A và biểu diễn trên trục số.
Lời giải:
\(\frac{1}{|x-1|}>2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |x-1|\neq 0\\ |x-1|< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ \frac{-1}{2}< x-1< \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ \frac{1}{2}< x< \frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\setminus \left\{1\right\}\)
\(\Rightarrow R\setminus A=(-\infty;\frac{1}{2}]\cup [\frac{3}{2};+\infty)\cup \left\{1\right\}\)
Hình:
1, Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([\frac{2}{3};1]\) và thỏa mãn \(2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2}{3x}\right)=5x\) với \(\forall x\in\left[\frac{2}{3};1\right]\). Tính tích phân \(I=\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\frac{f\left(x\right)}{x}dx\)
2, Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0,2] và thoản mãn \(3f\left(x\right)-4f\left(2-x\right)=-x^2-12x+16\) với \(\forall x\in\left[0;2\right]\). Tính tích phân \(I=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)
3, Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left(x\right)=4xf\left(x^2\right)+2x+1\) với \(\forall x\in R\) . Tính tích phân \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
Câu 1:
\(2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2}{3x}\right)=5x\) (1)
Đặt \(t=\frac{2}{3x}\Rightarrow x=\frac{2}{3t}\)
\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=5.\frac{2}{3t}\Leftrightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=\frac{10}{3t}\)
\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3x}\right)+3f\left(x\right)=\frac{10}{3x}\Leftrightarrow3f\left(\frac{2}{3x}\right)+\frac{9}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}\) (2)
Trừ vế cho vế của (2) cho (1):
\(\frac{5}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}-5x\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{x}-2x\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{x^2}-2\right)dx=\left(-\frac{2}{x}-2x\right)|^1_{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\)
Câu 2:
\(3f\left(x\right)-4f\left(2-x\right)=-x^2-12x+16\) (1)
Đặt \(2-x=t\Rightarrow x=2-t\)
\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-\left(2-t\right)^2-12\left(2-t\right)+16\)
\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-t^2+16t-12\)
\(\Rightarrow3f\left(2-x\right)-4f\left(x\right)=-x^2+16x-12\)
\(\Rightarrow4f\left(2-x\right)-\frac{16}{3}f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{64}{3}x-16\) (2)
Cộng (1) và (2):
\(-\frac{7}{3}f\left(x\right)=-\frac{14}{3}x^2+\frac{28}{3}x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x^2-4x\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left(2x^2-4x\right)dx=-\frac{8}{3}\)
Câu 3:
\(f\left(x\right)=4x.f\left(x^2\right)+2x+1\)
Lấy tích phân 2 vế:
\(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_04x^2f\left(x^2\right)dx+\int\limits^1_0\left(2x+1\right)dx=I_1+2\)
Xét \(I_1=\int\limits^1_04x.f\left(x^2\right)dx\)
Đặt \(x^2=t\Rightarrow2x.dx=dt;\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\int\limits^1_02.f\left(t\right).dt=2\int\limits^1_0f\left(x\right).dx=2I\)
\(\Rightarrow I=2I+2\Rightarrow I=-2\)
Vậy \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=-2\)
Bài 1 Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: x1, x2 là hai góa trị của x, y1, y2 là hai giá trị của y. Tính y1, y2 biết y12+y22=52, x1=3, x2=2
Bài 2: Tính
M = x+y+z biết \(\frac{133}{10}=\frac{19}{x+y}+\frac{19}{z+y}+\frac{19}{x+z}=\frac{7x}{z+y}+\frac{7y}{x+z}=\frac{7z}{x+y}\)
Bài 3
a. Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện:\(\left(2-x\right)f\left(x\right)-xf\left(-x\right)=4-x^2\forall x\in R\). Tính f(-3)
b. Vẽ đồ thị hàm số y=|x|-2x. Xác định a để điểm A(\(a^2;-81\)) thuộc đồ thị hàm số trên.
1. Cho biểu thức Q=\(\frac{\sqrt{x-\sqrt{4\left(x-1\right)}}+\sqrt{x+\sqrt{4\left(x-1\right)}}}{\sqrt{x^2-4\left(x-1\right)}}.\left(1-\frac{1}{x-1}\right)\)
a) Tìm ĐK của x để Q có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức Q.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M=\(\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}\)
3. CMR nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}=\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)
với x≠y, yz≠1, xz≠1, x≠0, y≠0, z≠0
thì \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Đề:
Cho các số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = 1 và \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=1\)
\(\left(x\ne-y;y\ne-z;z\ne-x\right)\)
Giá trị của biểu thức \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\) là . . .
Giải:
x + y + z = 1
=> x = 1 - (y + z)
y = 1 - (x + z)
z = 1 - (x + y)
Thay x = 1 - (y + z); y = 1 - (x + z) và z = 1 - (x + y) vào P, ta có:
\(P=\frac{x\left[1-\left(y+z\right)\right]}{y+z}+\frac{y\left[1-\left(x+z\right)\right]}{x+z}+\frac{z\left[1-\left(x+y\right)\right]}{x+y}\)
\(=\frac{x-x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y-y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z-z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y}{x+z}-\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z}{x+y}-\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(=1-1\)
\(=0\)
ĐS: 0
Trịnh Trân Trân <3
Hay quớ ak! Mơn m nhìu nha ný! <3 <3 <3 (not thả thính =))))
1. Cho \(a,b\in Z;a,b\ne0;a\ne3b;a\ne-5b\). C/m giá trị A là 1 số nguyên lẻ \(A=\frac{b\left(2a^2+10ab+a+5b\right)}{a-3b}:\frac{a^2b+5ab^2}{a^2-3ab}\)
2. Cho \(x+y+z=1\)và \(x\ne-y;y\ne-z;z\ne-x\)
Tính giá trị biểu thức \(Q=\frac{xy+z}{\left(x+y\right)^2}.\frac{yz+x}{\left(y+z\right)^2}.\frac{zx+y}{\left(z+x\right)^2}\)
3. Cho \(xyz=1\).Tính \(P=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y-\frac{1}{y}\right)\left(z-\frac{1}{z}\right)\)
1)\(A=\frac{b\left(2a\left(a+5b\right)+\left(a+5b\right)\right)}{a-3b}.\frac{a\left(a-3b\right)}{ab\left(a+5b\right)}=\frac{b\left(a+5b\right)\left(2a+1\right).a\left(a-3b\right)}{\left(a-3b\right).ab\left(a+5b\right)}\)
\(A=2a+1\)=>lẻ với mọi a thuộc z=> dpcm
2) từ: x+y+z=1=> xy+z=xy+1-x-y=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)
tường tự: ta có tử của Q=(x-1)^2.(y-1)^2.(z-1)^2=[(x-1)(y-1)(z-1)]^2=[-(z+y).-(x+y).-(x+y)]^2=Mẫu=> Q=1
3) kiểm tra lại xem đề đã chuẩn chưa
Các mệnh đề sau đúng hay sai ? Hãy giải thích điều đó
c) "$\exists k\in Z;(k^{2}-k cộng 1) là số chẵn $"
d)"$\forall x\in Z;\frac{2x³-6x² cộng x-3}{2x² cộng 1}\in Z$"
e)"$\exists x\in Z;\frac{x²-2x cộng 3}{x-1}\in Z$"
d)"$\forall x\in R;x<3\Rightarrow x²<9$"
e)"$\forall n\in N;(n²-n)chia hết cho 3$"
g)"$\forall x\in R;\frac{x²}{2x²+1}<\frac{1}{2}$"
f)"$\forall n\in N;(n²-n) chia hết cho 24$"
c) +) giả sử k chẵn--> k2 chẵn --> k2-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k2 lẻ --> k2-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x2=(-4)2=16>9(ko thỏa đề)
CMR: \(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}\) không là số tự nhiên \(\forall x,y,z,t\in N\cdot\)
Giả sử \(x>y>z>t\)
Ta có :
\(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)
\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}>\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)
\(\Rightarrow\)\(M>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,c\inℕ^∗\right)\) )
\(\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho t )
\(\frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{z+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho z )
\(\frac{z}{y+z+t}< \frac{x+z}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho x )
\(\frac{t}{x+z+t}< \frac{y+t}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho y )
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)
\(\Rightarrow\)\(M< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(1< M< 2\)
Vậy M không là số tự nhiên với mọi \(x,y,z,t\inℕ\)
Chúc bạn học tốt ~
Giả sử x > y > z > t Ta có : x + y + z x > x + y + z + t x x + y + t y > x + y + z + t y y + z + t z > x + y + z + t z x + z + t t > x + y + z + t t ⇒M = x + y + z x + x + y + t y + y + z + t z + x + z + t t > x + y + z + t x + y + z + t = 1 ⇒M > 1 1 Lại có : ( phần này áp dụng công thức b a < b + m a + m b a < 1;a,b,c ∈ ℕ ∗ ) x + y + z x < x + y + z + t x + t ( cộng tử và mẫu cho t ) x + y + t y < z + y + z + t y + z ( cộng tử và mẫu cho z ) y + z + t z < x + y + z + t x + z ( cộng tử và mẫu cho x ) x + z + t t < x + y + z + t y + t ( cộng tử và mẫu cho y ) ⇒M = x + y + z x + x + y + t y + y + z + t z + x + z + t t < x + y + z + t 2 x + y + z + t = 2