Question

Bài 1 : Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : \(x^2+y^2+5x^2y^2+60=37xy\)

Bài 2 : Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn : \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) và xyz ≠ 0.

Tính giá trị biểu thức : \(P=\frac{16\left(x+y\right)}{z}+\frac{3\left(y+z\right)}{x}-\frac{2019\left(x+z\right)}{y}\)

Answer 1

Bài 2:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

<=> \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{matrix}\right.\)

Ta có \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Áp dụng => \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z (vô lí do x,y,z đôi 1 khác nhau)

=> x + y + z =0

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{matrix}\right.\)

Thay vào P = -16 - 3 + 2019 = 2000

Answer 2

Bài 1:

Ta có: \(x^2+y^2+5x^2y^2+60=37xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy+60=35xy-5x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+60=5\left(7xy-x^2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+60=\frac{5\cdot49}{4}-\frac{5}{4}\left(2xy-7\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(x-y\right)\right]^2+5\left(2xy-7\right)^2=5\cdot49-60\cdot4=5\)

mà \(x,y\in Z\) và \(2xy-7\ne0\); \(5\left(2xy-7\right)^2\ge5\)

nên \(\left[2\left(x-y\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

|(2xy-7)|=1

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2-7=-1\\2x^2-7=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2=6\\2x^2=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=3\left(loại\right)\\x^2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm2\)

Vậy: (x,y)=(\(\pm2;\pm2\))