Xét các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left(\overline{z}+i\right)\left(z+2\right)\) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) là một đường tròn có bán kính bằng
\(1\). \(\frac{5}{4}\). \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Hướng dẫn giải:Đặt \(z=x+yi,\left(x,y\in\mathbb{R}\right).\) Ta có \(\overline{z}+i=x+\left(1-y\right)i;z+2=\left(x+2\right)+yi.\) Suy ra \(\left(\overline{z}+i\right)\left(z+2\right)=\left(x+\left(1-y\right)i\right)\left(\left(x+2\right)+yi\right)\)\(=x\left(x+2\right)-y\left(1-y\right)+\left(xy+\left(1-y\right)\left(x+2\right)\right)i\).
Số phức này sẽ là số thuần ảo khi và chỉ khi \(x\left(x+2\right)-y\left(1-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\).
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện "\(\left(\overline{z}+i\right)\left(z+2\right)\) là số thuần ảo" là một đường tròn bán kính \(\frac{\sqrt{5}}{2}\).